Precálculo Ejemplos

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $[0, 2 π]$

Paso 1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$2 x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

El valor exacto de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ es $\frac{π}{4}$ .

$2 x = \frac{π}{4}$

Paso 3

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{4}$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{4}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Paso 3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.3.2

Multiplica $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$x = \frac{π}{8}$

Paso 4

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{4}$

Paso 5

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 5.1.2

Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 5.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 5.1.4

Multiplica $4$ por $2$ .

$2 x = \frac{8 π - π}{4}$

Paso 5.1.5

Resta $π$ de $8 π$ .

$2 x = \frac{7 π}{4}$

Paso 5.2

Divide cada término en $2 x = \frac{7 π}{4}$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Divide cada término en $2 x = \frac{7 π}{4}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.2.1

Multiplica $\frac{7 π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{4 \cdot 2}$

Paso 5.2.3.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$x = \frac{7 π}{8}$

Paso 6

Obtén el período de $\cos (2 x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Paso 6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 6.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 7

El período de la función $\cos (2 x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Obtén los valores de $n$ que producen un valor dentro del intervalo $[0, 2 π]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1

Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{π}{8} + π (0)$

Paso 8.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.2.1

Multiplica $π$ por $0$ .

$\frac{π}{8} + 0$

Paso 8.1.2.2

Suma $\frac{π}{8}$ y $0$ .

$\frac{π}{8}$

Paso 8.1.3

El intervalo $[0, 2 π]$ contiene $\frac{π}{8}$ .

$x = \frac{π}{8}$

Paso 8.2

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{7 π}{8} + π (0)$

Paso 8.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Multiplica $π$ por $0$ .

$\frac{7 π}{8} + 0$

Paso 8.2.2.2

Suma $\frac{7 π}{8}$ y $0$ .

$\frac{7 π}{8}$

Paso 8.2.3

El intervalo $[0, 2 π]$ contiene $\frac{7 π}{8}$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{7 π}{8}$

Paso 8.3

Inserta $1$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Inserta $1$ en $n$ .

$\frac{π}{8} + π (1)$

Paso 8.3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.2.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{π}{8} + π$

Paso 8.3.2.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π}{8} + π \cdot \frac{8}{8}$

Paso 8.3.2.3

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.2.3.1

Combina $π$ y $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π}{8} + \frac{π \cdot 8}{8}$

Paso 8.3.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π + π \cdot 8}{8}$

Paso 8.3.2.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.2.4.1

Mueve $8$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{π + 8 \cdot π}{8}$

Paso 8.3.2.4.2

Suma $π$ y $8 π$ .

$\frac{9 π}{8}$

Paso 8.3.3

El intervalo $[0, 2 π]$ contiene $\frac{9 π}{8}$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{7 π}{8}, \frac{9 π}{8}$

Paso 8.4

Inserta $1$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.1

Inserta $1$ en $n$ .

$\frac{7 π}{8} + π (1)$

Paso 8.4.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.2.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{7 π}{8} + π$

Paso 8.4.2.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{7 π}{8} + π \cdot \frac{8}{8}$

Paso 8.4.2.3

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.2.3.1

Combina $π$ y $\frac{8}{8}$ .

$\frac{7 π}{8} + \frac{π \cdot 8}{8}$

Paso 8.4.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7 π + π \cdot 8}{8}$

Paso 8.4.2.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.2.4.1

Mueve $8$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{7 π + 8 \cdot π}{8}$

Paso 8.4.2.4.2

Suma $7 π$ y $8 π$ .

$\frac{15 π}{8}$

Paso 8.4.3

El intervalo $[0, 2 π]$ contiene $\frac{15 π}{8}$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{7 π}{8}, \frac{9 π}{8}, \frac{15 π}{8}$