Precálculo Ejemplos

$2 x^{4} - x^{3} - 51 x^{2} + 25 x + 25$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$- x^{3} + 25 x + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

Paso 2

Factoriza $- x$ de $- x^{3} + 25 x$ .

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Paso 2.1

Factoriza $- x$ de $- x^{3}$ .

$- x (x^{2}) + 25 x + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

Paso 2.2

Factoriza $- x$ de $25 x$ .

$- x (x^{2}) - x (- 25) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

Paso 2.3

Factoriza $- x$ de $- x (x^{2}) - x (- 25)$ .

$- x (x^{2} - 25) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

Paso 3

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$- x (x^{2} - 5^{2}) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

Paso 4

Factoriza.

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Paso 4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$- x ((x + 5) (x - 5)) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

Paso 5

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 {(x^{2})}^{2} - 51 x^{2} + 25$

Paso 6

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 u^{2} - 51 u + 25$

Paso 7

Factoriza por agrupación.

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Paso 7.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 25 = 50$ y cuya suma es $b = - 51$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $- 51$ de $- 51 u$ .

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 u^{2} - 51 (u) + 25$

Paso 7.1.2

Reescribe $- 51$ como $- 1$ más $- 50$

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 u^{2} + (- 1 - 50) u + 25$

Paso 7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 u^{2} - 1 u - 50 u + 25$

Paso 7.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 u^{2} - 1 u) - 50 u + 25$

Paso 7.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- x (x + 5) (x - 5) + u (2 u - 1) - 25 (2 u - 1)$

Paso 7.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 1$ .

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 u - 1) (u - 25)$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 25)$

Paso 9

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 5^{2})$

Paso 10

Factoriza.

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Paso 10.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) ((x + 5) (x - 5))$

Paso 10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) (x + 5) (x - 5)$

Paso 11

Factoriza $(x + 5) (x - 5)$ de $- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) (x + 5) (x - 5)$ .

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Paso 11.1

Factoriza $(x + 5) (x - 5)$ de $- x (x + 5) (x - 5)$ .

$(x + 5) (x - 5) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x + 5) (x - 5)$

Paso 11.2

Factoriza $(x + 5) (x - 5)$ de $(2 x^{2} - 1) (x + 5) (x - 5)$ .

$(x + 5) (x - 5) (- x) + (x + 5) (x - 5) (2 x^{2} - 1)$

Paso 11.3

Factoriza $(x + 5) (x - 5)$ de $(x + 5) (x - 5) (- x) + (x + 5) (x - 5) (2 x^{2} - 1)$ .

$(x + 5) (x - 5) (- x + 2 x^{2} - 1)$

Paso 12

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x + 5) (x - 5) (- u + 2 u^{2} - 1)$

Paso 13

Factoriza por agrupación.

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Paso 13.1

Reordena los términos.

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} - u - 1)$

Paso 13.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 13.2.1

Factoriza $- 1$ de $- u$ .

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} - (u) - 1)$

Paso 13.2.2

Reescribe $- 1$ como $1$ más $- 2$

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1)$

Paso 13.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1)$

Paso 13.2.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} + u - 2 u - 1)$

Paso 13.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 13.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 5) (x - 5) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1)$

Paso 13.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 5) (x - 5) (u (2 u + 1) - (2 u + 1))$

Paso 13.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u + 1$ .

$(x + 5) (x - 5) ((2 u + 1) (u - 1))$

Paso 14

Factoriza.

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Paso 14.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x + 5) (x - 5) ((2 x + 1) (x - 1))$

Paso 14.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 5) (x - 5) (2 x + 1) (x - 1)$