Precálculo Ejemplos

$2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$- x^{3} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25$

Paso 2

Factoriza $- x$ de $- x^{3} - 25 x$ .

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Paso 2.1

Factoriza $- x$ de $- x^{3}$ .

$- x (x^{2}) - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25$

Paso 2.2

Factoriza $- x$ de $- 25 x$ .

$- x (x^{2}) - x (25) + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25$

Paso 2.3

Factoriza $- x$ de $- x (x^{2}) - x (25)$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25$

Paso 3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 {(x^{2})}^{2} + 49 x^{2} - 25$

Paso 4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 u - 25$

Paso 5

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 25 = - 50$ y cuya suma es $b = 49$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $49$ de $49 u$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 (u) - 25$

Paso 5.1.2

Reescribe $49$ como $- 1$ más $50$

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + (- 1 + 50) u - 25$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25$

Paso 5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- x (x^{2} + 25) + (2 u^{2} - 1 u) + 50 u - 25$

Paso 5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- x (x^{2} + 25) + u (2 u - 1) + 25 (2 u - 1)$

Paso 5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 1$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 u - 1) (u + 25)$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$

Paso 7

Factoriza $x^{2} + 25$ de $- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ .

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Paso 7.1

Factoriza $x^{2} + 25$ de $- x (x^{2} + 25)$ .

$(x^{2} + 25) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$

Paso 7.2

Factoriza $x^{2} + 25$ de $(2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ .

$(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1)$

Paso 7.3

Factoriza $x^{2} + 25$ de $(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1)$ .

$(x^{2} + 25) (- x + 2 x^{2} - 1)$

Paso 8

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x^{2} + 25) (- u + 2 u^{2} - 1)$

Paso 9

Factoriza por agrupación.

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Paso 9.1

Reordena los términos.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - u - 1)$

Paso 9.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 9.2.1

Factoriza $- 1$ de $- u$ .

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - (u) - 1)$

Paso 9.2.2

Reescribe $- 1$ como $1$ más $- 2$

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1)$

Paso 9.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1)$

Paso 9.2.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + u - 2 u - 1)$

Paso 9.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 9.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x^{2} + 25) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1)$

Paso 9.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x^{2} + 25) (u (2 u + 1) - (2 u + 1))$

Paso 9.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u + 1$ .

$(x^{2} + 25) ((2 u + 1) (u - 1))$

Paso 10

Factoriza.

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Paso 10.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x^{2} + 25) ((2 x + 1) (x - 1))$

Paso 10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1)$