Precálculo Ejemplos

$\sin (\frac{x}{3}) = \frac{1}{2}$

Paso 1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$\frac{x}{3} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π}{6}$

Paso 3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{6}$

Paso 4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.1.1.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{6}$

Paso 4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 3 \frac{π}{6}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.1.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$x = 3 \frac{π}{3 (2)}$

Paso 4.2.1.2

Cancela el factor común.

$x = 3 \frac{π}{3 \cdot 2}$

Paso 4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{π}{2}$

Paso 5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$\frac{x}{3} = π - \frac{π}{6}$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{6})$

Paso 6.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{6})$

Paso 6.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 3 (π - \frac{π}{6})$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica $3 (π - \frac{π}{6})$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = 3 (π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6})$

Paso 6.2.2.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 6.2.2.1.2.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = 3 (\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6})$

Paso 6.2.2.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = 3 \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 6.2.2.1.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.2.1.2.3.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$x = 3 \frac{π \cdot 6 - π}{3 (2)}$

Paso 6.2.2.1.2.3.2

Cancela el factor común.

$x = 3 \frac{π \cdot 6 - π}{3 \cdot 2}$

Paso 6.2.2.1.2.3.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{2}$

Paso 6.2.2.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.2.1.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{2}$

Paso 6.2.2.1.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{2}$

Paso 7

Obtén el período de $\sin (\frac{x}{3})$ .

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Paso 7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 7.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{3}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Paso 7.3

$\frac{1}{3}$ es aproximadamente $0.\overline{3}$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Paso 7.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 3$

Paso 7.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 π$

Paso 8

El período de la función $\sin (\frac{x}{3})$ es $6 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $6 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 6 π n, \frac{5 π}{2} + 6 π n$ , para cualquier número entero $n$