Precálculo Ejemplos

$\tan (\frac{x}{2}) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$\frac{x}{2} = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de $\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ es $- \frac{π}{6}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{6}$

Paso 3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{6})$

Paso 4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{6})$

Paso 4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 (- \frac{π}{6})$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $2 (- \frac{π}{6})$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{6}$ al numerador.

$x = 2 \frac{- π}{6}$

Paso 4.2.1.1.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$x = 2 \frac{- π}{2 (3)}$

Paso 4.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$x = 2 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Paso 4.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- π}{3}$

Paso 4.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{π}{3}$

Paso 5

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{6} - π$

Paso 6

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 6.1

Suma $2 π$ a $- \frac{π}{6} - π$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

Paso 6.2

El ángulo resultante de $\frac{5 π}{6}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{6} - π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6}$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{6}$

Paso 6.3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{6}$

Paso 6.3.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 \frac{5 π}{6}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$x = 2 \frac{5 π}{2 (3)}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$x = 2 \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

Paso 6.3.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{5 π}{3}$

Paso 7

Obtén el período de $\tan (\frac{x}{2})$ .

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Paso 7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 7.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Paso 7.3

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Paso 7.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$π \cdot 2$

Paso 7.5

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$2 π$

Paso 8

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 8.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{3}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Paso 8.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 8.3

Combina fracciones.

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Paso 8.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 8.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 8.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.4.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Paso 8.4.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Paso 8.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{5 π}{3}$

Paso 9

El período de la función $\tan (\frac{x}{2})$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10

Consolida las respuestas.

$x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$