Precálculo Ejemplos

$x + \sqrt{2 x + 1} = 7$

Paso 1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{2 x + 1} = 7 - x$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{2 x + 1}}^{2} = {(7 - x)}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x + 1}$ como ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(7 - x)}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(7 - x)}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(7 - x)}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 x + 1)}^{1} = {(7 - x)}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$2 x + 1 = {(7 - x)}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(7 - x)}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(7 - x)}^{2}$ como $(7 - x) (7 - x)$ .

$2 x + 1 = (7 - x) (7 - x)$

Paso 3.3.1.2

Expande $(7 - x) (7 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 1 = 7 (7 - x) - x (7 - x)$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 1 = 7 \cdot 7 + 7 (- x) - x (7 - x)$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 1 = 7 \cdot 7 + 7 (- x) - x \cdot 7 - x (- x)$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Multiplica $7$ por $7$ .

$2 x + 1 = 49 + 7 (- x) - x \cdot 7 - x (- x)$

Paso 3.3.1.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$2 x + 1 = 49 - 7 x - x \cdot 7 - x (- x)$

Paso 3.3.1.3.1.3

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$2 x + 1 = 49 - 7 x - 7 x - x (- x)$

Paso 3.3.1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x + 1 = 49 - 7 x - 7 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Paso 3.3.1.3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$2 x + 1 = 49 - 7 x - 7 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Paso 3.3.1.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x + 1 = 49 - 7 x - 7 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 x + 1 = 49 - 7 x - 7 x + 1 x^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.7

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$2 x + 1 = 49 - 7 x - 7 x + x^{2}$

Paso 3.3.1.3.2

Resta $7 x$ de $- 7 x$ .

$2 x + 1 = 49 - 14 x + x^{2}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$49 - 14 x + x^{2} = 2 x + 1$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$49 - 14 x + x^{2} - 2 x = 1$

Paso 4.2.2

Resta $2 x$ de $- 14 x$ .

$49 + x^{2} - 16 x = 1$

Paso 4.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$49 + x^{2} - 16 x - 1 = 0$

Paso 4.4

Resta $1$ de $49$ .

$x^{2} - 16 x + 48 = 0$

Paso 4.5

Factoriza $x^{2} - 16 x + 48$ con el método AC.

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Paso 4.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $48$ y cuya suma es $- 16$ .

$- 12, - 4$

Paso 4.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 12) (x - 4) = 0$

Paso 4.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 12 = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 4.7

Establece $x - 12$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.7.1

Establece $x - 12$ igual a $0$ .

$x - 12 = 0$

Paso 4.7.2

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 12$

Paso 4.8

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.8.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 4.8.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 4.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 12) (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 12, 4$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $x + \sqrt{2 x + 1} = 7$ sea verdadera.

$x = 4$