Precálculo Ejemplos

$9 \sec^{2} (x) - 12 = 0$

Paso 1

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$9 \sec^{2} (x) = 12$

Paso 2

Divide cada término en $9 \sec^{2} (x) = 12$ por $9$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $9 \sec^{2} (x) = 12$ por $9$ .

$\frac{9 \sec^{2} (x)}{9} = \frac{12}{9}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 \sec^{2} (x)}{9} = \frac{12}{9}$

Paso 2.2.1.2

Divide $\sec^{2} (x)$ por $1$ .

$\sec^{2} (x) = \frac{12}{9}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $12$ y $9$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$\sec^{2} (x) = \frac{3 (4)}{9}$

Paso 2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\sec^{2} (x) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

Paso 2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\sec^{2} (x) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

Paso 2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\sec^{2} (x) = \frac{4}{3}$

Paso 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Paso 4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

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Paso 4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{4}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Paso 4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Paso 4.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\sec (x) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Paso 4.3

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.4.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 4.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 4.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 4.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 4.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 4.4.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 4.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sec (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 6

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\sec (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 7

Resuelve $x$ en $\sec (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Paso 7.1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Paso 7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.1

El valor exacto de $arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Paso 7.3

La secante es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Paso 7.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{6}$ .

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Paso 7.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 7.4.2

Combina fracciones.

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Paso 7.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 7.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 7.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.3.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Paso 7.4.3.2

Resta $π$ de $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Paso 7.5

Obtén el período de $\sec (x)$ .

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Paso 7.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 7.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 7.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 7.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 7.6

El período de la función $\sec (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Resuelve $x$ en $\sec (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Paso 8.1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Paso 8.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.1

El valor exacto de $arcsec (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ es $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Paso 8.3

La secante es negativa en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Paso 8.4

Simplifica $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

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Paso 8.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Paso 8.4.2

Combina fracciones.

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Paso 8.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Paso 8.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Paso 8.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.4.3.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Paso 8.4.3.2

Resta $5 π$ de $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Paso 8.5

Obtén el período de $\sec (x)$ .

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Paso 8.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 8.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 8.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 8.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 8.6

El período de la función $\sec (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10

Consolida las soluciones.

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Paso 10.1

Consolida $\frac{π}{6} + 2 π n$ y $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ en $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10.2

Consolida $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ y $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ en $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$