Precálculo Ejemplos

$\ln (x + 2) - \ln (x) = 2$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x + 2}{x}) = 2$

Paso 2

Reescribe $\ln (\frac{x + 2}{x}) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2} = \frac{x + 2}{x}$

Paso 3

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$x + 2 = e^{2} (x)$

Paso 4

Multiplica $e^{2}$ por $x$ .

$x + 2 = e^{2} x$

Paso 5

Resta $e^{2} x$ de ambos lados de la ecuación.

$x + 2 - e^{2} x = 0$

Paso 6

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x - e^{2} x = - 2$

Paso 7

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.1

Factoriza $x$ de $x - e^{2} x$ .

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Paso 7.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x - e^{2} x = - 2$

Paso 7.1.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - e^{2} x = - 2$

Paso 7.1.3

Factoriza $x$ de $- e^{2} x$ .

$x \cdot 1 + x (- e^{2}) = - 2$

Paso 7.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (- e^{2})$ .

$x (1 - e^{2}) = - 2$

Paso 7.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x (1^{2} - e^{2}) = - 2$

Paso 7.3

Factoriza.

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Paso 7.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = e$ .

$x ((1 + e) (1 - e)) = - 2$

Paso 7.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (1 + e) (1 - e) = - 2$

Paso 8

Divide cada término en $x (1 + e) (1 - e) = - 2$ por $1 - e^{2}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $x (1 + e) (1 - e) = - 2$ por $1 - e^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{1 - e^{2}} = \frac{- 2}{1 - e^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{1^{2} - e^{2}} = \frac{- 2}{1 - e^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = e$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{(1 + e) (1 - e)} = \frac{- 2}{1 - e^{2}}$

Paso 8.2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 8.2.2.1

Cancela el factor común de $1 + e$ .

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Paso 8.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{(1 + e) (1 - e)} = \frac{- 2}{1 - e^{2}}$

Paso 8.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- 2}{1 - e^{2}}$

Paso 8.2.2.2

Cancela el factor común de $1 - e$ .

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Paso 8.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- 2}{1 - e^{2}}$

Paso 8.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{1 - e^{2}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 8.3.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x = \frac{- 2}{1^{2} - e^{2}}$

Paso 8.3.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = e$ .

$x = \frac{- 2}{(1 + e) (1 - e)}$

Paso 8.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{(1 + e) (1 - e)}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{2}{(1 + e) (1 - e)}$

Forma decimal:

$x = 0.31303528 \dots$