Precálculo Ejemplos

$\log (x - 15) = 2 - \log (x)$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\log (x - 15) + \log (x) = 2$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 15) x) = 2$

Paso 3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (x \cdot x - 15 x) = 2$

Paso 4

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log (x^{2} - 15 x) = 2$

Paso 5

Reescribe $\log (x^{2} - 15 x) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{2} = x^{2} - 15 x$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} - 15 x = 10^{2}$ .

$x^{2} - 15 x = 10^{2}$

Paso 6.2

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - 15 x = 100$

Paso 6.3

Resta $100$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 15 x - 100 = 0$

Paso 6.4

Factoriza $x^{2} - 15 x - 100$ con el método AC.

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Paso 6.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 100$ y cuya suma es $- 15$ .

$- 20, 5$

Paso 6.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 20) (x + 5) = 0$

Paso 6.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 20 = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 6.6

Establece $x - 20$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.6.1

Establece $x - 20$ igual a $0$ .

$x - 20 = 0$

Paso 6.6.2

Suma $20$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 20$

Paso 6.7

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.7.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 6.7.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 6.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 20) (x + 5) = 0$ verdadera.

$x = 20, - 5$

Paso 7

Excluye las soluciones que no hagan que $\log (x - 15) = 2 - \log (x)$ sea verdadera.

$x = 20$