Precálculo Ejemplos

$\log (x + 3) + \log (x - 2) = \log (14)$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x + 3) (x - 2)) = \log (14)$

Paso 1.2

Expande $(x + 3) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (x (x - 2) + 3 (x - 2)) = \log (14)$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 2 + 3 (x - 2)) = \log (14)$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2) = \log (14)$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2) = \log (14)$

Paso 1.3.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$\log (x^{2} - 2 \cdot x + 3 x + 3 \cdot - 2) = \log (14)$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\log (x^{2} - 2 x + 3 x - 6) = \log (14)$

Paso 1.3.2

Suma $- 2 x$ y $3 x$ .

$\log (x^{2} + x - 6) = \log (14)$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$x^{2} + x - 6 = 14$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Resta $14$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + x - 6 - 14 = 0$

Paso 3.2

Resta $14$ de $- 6$ .

$x^{2} + x - 20 = 0$

Paso 3.3

Factoriza $x^{2} + x - 20$ con el método AC.

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Paso 3.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 20$ y cuya suma es $1$ .

$- 4, 5$

Paso 3.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 4) (x + 5) = 0$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 3.5

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 3.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 3.6

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 3.6.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 4) (x + 5) = 0$ verdadera.

$x = 4, - 5$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log (x + 3) + \log (x - 2) = \log (14)$ sea verdadera.

$x = 4$