Precálculo Ejemplos

$\sec (90 - x) = 2$

Paso 1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$90 - x = arcsec (2)$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de $arcsec (2)$ es $\frac{π}{3}$ .

$90 - x = \frac{π}{3}$

Paso 3

Resta $90$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = \frac{π}{3} - 90$

Paso 4

Divide cada término en $- x = \frac{π}{3} - 90$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $- x = \frac{π}{3} - 90$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\frac{π}{3}}{- 1} + \frac{- 90}{- 1}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{\frac{π}{3}}{- 1} + \frac{- 90}{- 1}$

Paso 4.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{- 1} + \frac{- 90}{- 1}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{π}{3}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot \frac{π}{3} + \frac{- 90}{- 1}$

Paso 4.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot \frac{π}{3}$ como $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3} + \frac{- 90}{- 1}$

Paso 4.3.1.3

Divide $- 90$ por $- 1$ .

$x = - \frac{π}{3} + 90$

Paso 5

La secante es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$90 - x = 2 π - \frac{π}{3}$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Simplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 6.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$90 - x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 6.1.2

Combina fracciones.

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Paso 6.1.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$90 - x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 6.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$90 - x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 6.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$90 - x = \frac{6 π - π}{3}$

Paso 6.1.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$90 - x = \frac{5 π}{3}$

Paso 6.2

Resta $90$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = \frac{5 π}{3} - 90$

Paso 6.3

Divide cada término en $- x = \frac{5 π}{3} - 90$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.3.1

Divide cada término en $- x = \frac{5 π}{3} - 90$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\frac{5 π}{3}}{- 1} + \frac{- 90}{- 1}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{\frac{5 π}{3}}{- 1} + \frac{- 90}{- 1}$

Paso 6.3.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{- 1} + \frac{- 90}{- 1}$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{5 π}{3}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot \frac{5 π}{3} + \frac{- 90}{- 1}$

Paso 6.3.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot \frac{5 π}{3}$ como $- \frac{5 π}{3}$ .

$x = - \frac{5 π}{3} + \frac{- 90}{- 1}$

Paso 6.3.3.1.3

Divide $- 90$ por $- 1$ .

$x = - \frac{5 π}{3} + 90$

Paso 7

Obtén el período de $\sec (90 - x)$ .

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Paso 7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 7.2

Reemplaza $b$ con $- 1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| - 1 |}$

Paso 7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 1$ y $0$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 8

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 8.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{3} + 90$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{3} + 90 + 2 π$

Paso 8.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 90$

Paso 8.3

Combina fracciones.

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Paso 8.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 90$

Paso 8.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3} + 90$

Paso 8.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.4.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 π - π}{3} + 90$

Paso 8.4.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3} + 90$

Paso 8.5

Suma $2 π$ y $- \frac{5 π}{3} + 90$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{5 π}{3} + 90 + 2 π$

Paso 8.6

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 π}{3} + 90$

Paso 8.7

Combina fracciones.

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Paso 8.7.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{5 π}{3} + 90$

Paso 8.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 3 - 5 π}{3} + 90$

Paso 8.8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.8.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 π - 5 π}{3} + 90$

Paso 8.8.2

Resta $5 π$ de $6 π$ .

$\frac{π}{3} + 90$

Paso 8.9

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{π}{3} + 90$

Paso 9

El período de la función $\sec (90 - x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 90 + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 90 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$