Precálculo Ejemplos

$x^{4} - 3 x^{3} = 81 + 18 x - 5 x^{3}$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $18 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{4} - 3 x^{3} - 18 x = 81 - 5 x^{3}$

Paso 1.2

Suma $5 x^{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{4} - 3 x^{3} - 18 x + 5 x^{3} = 81$

Paso 1.3

Suma $- 3 x^{3}$ y $5 x^{3}$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 18 x = 81$

Paso 2

Resta $81$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{4} + 2 x^{3} - 18 x - 81 = 0$

Paso 3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Reagrupa los términos.

$x^{4} - 81 + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Paso 3.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 81 + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Paso 3.3

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 9^{2} + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Paso 3.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 9$ .

$(x^{2} + 9) (x^{2} - 9) + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$(x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2}) + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Paso 3.5.2

Factoriza.

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Paso 3.5.2.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$(x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3)) + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Paso 3.5.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Paso 3.6

Factoriza $2 x$ de $2 x^{3} - 18 x$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{3}$ .

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x^{2}) - 18 x = 0$

Paso 3.6.2

Factoriza $2 x$ de $- 18 x$ .

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x^{2}) + 2 x (- 9) = 0$

Paso 3.6.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{2}) + 2 x (- 9)$ .

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x^{2} - 9) = 0$

Paso 3.7

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Paso 3.8

Factoriza.

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Paso 3.8.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Paso 3.8.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Paso 3.9

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x + 3) (x - 3)$ .

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Paso 3.9.1

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 9) + 2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Paso 3.9.2

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $2 x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 9) + (x + 3) (x - 3) (2 x) = 0$

Paso 3.9.3

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 9) + (x + 3) (x - 3) (2 x)$ .

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 9 + 2 x) = 0$

Paso 3.10

Reordena los términos.

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 2 x + 9) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 2 x + 9 = 0$

Paso 5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 6

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 6.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 7

Establece $x^{2} + 2 x + 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x^{2} + 2 x + 9$ igual a $0$ .

$x^{2} + 2 x + 9 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $x^{2} + 2 x + 9 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2$ y $c = 9$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Paso 7.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.1.3

Resta $36$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.1.4

Reescribe $- 32$ como $- 1 (32)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (32)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.1.7

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 7.2.3.1.7.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$

Paso 7.2.3.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm 2 i \sqrt{2}$

Paso 7.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 1 + 2 i \sqrt{2}, - 1 - 2 i \sqrt{2}$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 2 x + 9) = 0$ verdadera.

$x = - 3, 3, - 1 + 2 i \sqrt{2}, - 1 - 2 i \sqrt{2}$