Precálculo Ejemplos

$\log_{6} (w - 1) + \log_{6} (w - 2) = 1$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{6} ((w - 1) (w - 2)) = 1$

Paso 1.2

Expande $(w - 1) (w - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{6} (w (w - 2) - 1 (w - 2)) = 1$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{6} (w \cdot w + w \cdot - 2 - 1 (w - 2)) = 1$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{6} (w \cdot w + w \cdot - 2 - 1 w - 1 \cdot - 2) = 1$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $w$ por $w$ .

$\log_{6} (w^{2} + w \cdot - 2 - 1 w - 1 \cdot - 2) = 1$

Paso 1.3.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $w$ .

$\log_{6} (w^{2} - 2 \cdot w - 1 w - 1 \cdot - 2) = 1$

Paso 1.3.1.3

Reescribe $- 1 w$ como $- w$ .

$\log_{6} (w^{2} - 2 w - w - 1 \cdot - 2) = 1$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\log_{6} (w^{2} - 2 w - w + 2) = 1$

Paso 1.3.2

Resta $w$ de $- 2 w$ .

$\log_{6} (w^{2} - 3 w + 2) = 1$

Paso 2

Reescribe $\log_{6} (w^{2} - 3 w + 2) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$6^{1} = w^{2} - 3 w + 2$

Paso 3

Resuelve $w$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $w^{2} - 3 w + 2 = 6^{1}$ .

$w^{2} - 3 w + 2 = 6$

Paso 3.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$w^{2} - 3 w + 2 - 6 = 0$

Paso 3.3

Resta $6$ de $2$ .

$w^{2} - 3 w - 4 = 0$

Paso 3.4

Factoriza $w^{2} - 3 w - 4$ con el método AC.

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Paso 3.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 4, 1$

Paso 3.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(w - 4) (w + 1) = 0$

Paso 3.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$w - 4 = 0$

$w + 1 = 0$

Paso 3.6

Establece $w - 4$ igual a $0$ y resuelve $w$ .

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Paso 3.6.1

Establece $w - 4$ igual a $0$ .

$w - 4 = 0$

Paso 3.6.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$w = 4$

Paso 3.7

Establece $w + 1$ igual a $0$ y resuelve $w$ .

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Paso 3.7.1

Establece $w + 1$ igual a $0$ .

$w + 1 = 0$

Paso 3.7.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$w = - 1$

Paso 3.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(w - 4) (w + 1) = 0$ verdadera.

$w = 4, - 1$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{6} (w - 1) + \log_{6} (w - 2) = 1$ sea verdadera.

$w = 4$