Precálculo Ejemplos

$(\cot (x) + 1) (\csc (x) + 1) = 0$

Paso 1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cot (x) + 1 = 0$

$\csc (x) + 1 = 0$

Paso 2

Establece $\cot (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.1

Establece $\cot (x) + 1$ igual a $0$ .

$\cot (x) + 1 = 0$

Paso 2.2

Resuelve $\cot (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\cot (x) = - 1$

Paso 2.2.2

Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cotangente.

$x = arccot (- 1)$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

El valor exacto de $arccot (- 1)$ es $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 2.2.4

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Paso 2.2.5

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 2.2.5.1

Suma $2 π$ a $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Paso 2.2.5.2

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{4}$ es positivo y coterminal con $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Paso 2.2.6

Obtén el período de $\cot (x)$ .

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Paso 2.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 2.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 2.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 2.2.6.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 2.2.7

El período de la función $\cot (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Establece $\csc (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $\csc (x) + 1$ igual a $0$ .

$\csc (x) + 1 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $\csc (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\csc (x) = - 1$

Paso 3.2.2

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cosecante.

$x = arccsc (- 1)$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

El valor exacto de $arccsc (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Paso 3.2.4

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 3.2.5

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 3.2.5.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 3.2.5.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 3.2.6

Obtén el período de $\csc (x)$ .

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Paso 3.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.2.7

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 3.2.7.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Paso 3.2.7.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 3.2.7.3

Combina fracciones.

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Paso 3.2.7.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 3.2.7.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 3.2.7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.7.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Paso 3.2.7.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 3.2.7.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 3.2.8

El período de la función $\csc (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\cot (x) + 1) (\csc (x) + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

Consolida $\frac{3 π}{4} + π n$ y $\frac{7 π}{4} + π n$ en $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$