Precálculo Ejemplos

${(\frac{2}{3})}^{x} = \frac{81}{16}$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({(\frac{2}{3})}^{x}) = \ln (\frac{81}{16})$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Expande $\ln ({(\frac{2}{3})}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (\frac{2}{3}) = \ln (\frac{81}{16})$

Paso 2.2

Reescribe $\ln (\frac{2}{3})$ como $\ln (2) - \ln (3)$ .

$x (\ln (2) - \ln (3)) = \ln (\frac{81}{16})$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (\frac{2}{3}) = \ln (\frac{81}{16})$

Paso 4

Divide cada término en $x \ln (\frac{2}{3}) = \ln (\frac{81}{16})$ por $\ln (\frac{2}{3})$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $x \ln (\frac{2}{3}) = \ln (\frac{81}{16})$ por $\ln (\frac{2}{3})$ .

$\frac{x \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} = \frac{\ln (\frac{81}{16})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (\frac{2}{3})$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} = \frac{\ln (\frac{81}{16})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Paso 4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{81}{16})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (\frac{81}{16})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Forma decimal:

$x = - 4$