Precálculo Ejemplos

${(\frac{9}{4})}^{x} = 5^{1 - x}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln ({(\frac{9}{4})}^{x}) = \ln (5^{1 - x})$

Paso 2

Expande $\ln ({(\frac{9}{4})}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (\frac{9}{4}) = \ln (5^{1 - x})$

Paso 3

Reescribe $\ln (\frac{9}{4})$ como $\ln (9) - \ln (4)$ .

$x (\ln (9) - \ln (4)) = \ln (5^{1 - x})$

Paso 4

Reescribe $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$x (\ln (9) - \ln (2^{2})) = \ln (5^{1 - x})$

Paso 5

Expande $\ln (2^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$x (\ln (9) - (2 \ln (2))) = \ln (5^{1 - x})$

Paso 6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x (\ln (9) - 2 \ln (2)) = \ln (5^{1 - x})$

Paso 7

Expande $\ln (5^{1 - x})$ ; para ello, mueve $1 - x$ fuera del logaritmo.

$x (\ln (9) - 2 \ln (2)) = (1 - x) \ln (5)$

Paso 8

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 8.1

Simplifica $x (\ln (9) - 2 \ln (2))$ .

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Paso 8.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + x (\ln (9) - 2 \ln (2)) = (1 - x) \ln (5)$

Paso 8.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$x (\ln (9) - 2 \ln (2)) = (1 - x) \ln (5)$

Paso 8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (9) + x (- 2 \ln (2)) = (1 - x) \ln (5)$

Paso 8.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x \ln (9) - 2 x \ln (2) = (1 - x) \ln (5)$

Paso 8.2

Simplifica $(1 - x) \ln (5)$ .

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Paso 8.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (9) - 2 x \ln (2) = 1 \ln (5) - x \ln (5)$

Paso 8.2.2

Multiplica $\ln (5)$ por $1$ .

$x \ln (9) - 2 x \ln (2) = \ln (5) - x \ln (5)$

Paso 8.3

Suma $x \ln (5)$ a ambos lados de la ecuación.

$x \ln (9) - 2 x \ln (2) + x \ln (5) = \ln (5)$

Paso 8.4

Factoriza $x$ de $x \ln (9) - 2 x \ln (2) + x \ln (5)$ .

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Paso 8.4.1

Factoriza $x$ de $x \ln (9)$ .

$x (\ln (9)) - 2 x \ln (2) + x \ln (5) = \ln (5)$

Paso 8.4.2

Factoriza $x$ de $- 2 x \ln (2)$ .

$x (\ln (9)) + x (- 2 \ln (2)) + x \ln (5) = \ln (5)$

Paso 8.4.3

Factoriza $x$ de $x \ln (5)$ .

$x (\ln (9)) + x (- 2 \ln (2)) + x (\ln (5)) = \ln (5)$

Paso 8.4.4

Factoriza $x$ de $x (\ln (9)) + x (- 2 \ln (2))$ .

$x (\ln (9) - 2 \ln (2)) + x (\ln (5)) = \ln (5)$

Paso 8.4.5

Factoriza $x$ de $x (\ln (9) - 2 \ln (2)) + x (\ln (5))$ .

$x (\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)) = \ln (5)$

Paso 8.5

Divide cada término en $x (\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)) = \ln (5)$ por $\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)$ y simplifica.

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Paso 8.5.1

Divide cada término en $x (\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)) = \ln (5)$ por $\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5))}{\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)} = \frac{\ln (5)}{\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)}$

Paso 8.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.5.2.1

Cancela el factor común de $\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)$ .

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Paso 8.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5))}{\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)} = \frac{\ln (5)}{\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)}$

Paso 8.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)}$

Forma decimal:

$x = 0.66495583 \dots$