Precálculo Ejemplos

$\frac{3^{x} - 3^{- x}}{4} = 5$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $4$ .

$\frac{3^{x} - 3^{- x}}{4} \cdot 4 = 5 \cdot 4$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3^{x} - 3^{- x}}{4} \cdot 4 = 5 \cdot 4$

Paso 2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$3^{x} - 3^{- x} = 5 \cdot 4$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Multiplica $5$ por $4$ .

$3^{x} - 3^{- x} = 20$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe $3^{- x}$ como exponenciación.

$3^{x} - {(3^{x})}^{- 1} = 20$

Paso 3.2

Sustituye $u$ por $3^{x}$ .

$u - u^{- 1} = 20$

Paso 3.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u - \frac{1}{u} = 20$

Paso 3.4

Resuelve $u$

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Paso 3.4.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.4.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, u, 1$

Paso 3.4.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$u$

Paso 3.4.2

Multiplica cada término en $u - \frac{1}{u} = 20$ por $u$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.4.2.1

Multiplica cada término en $u - \frac{1}{u} = 20$ por $u$ .

$u \cdot u - \frac{1}{u} u = 20 u$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.2.1.1

Multiplica $u$ por $u$ .

$u^{2} - \frac{1}{u} u = 20 u$

Paso 3.4.2.2.1.2

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 3.4.2.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{u}$ al numerador.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 20 u$

Paso 3.4.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 20 u$

Paso 3.4.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$u^{2} - 1 = 20 u$

Paso 3.4.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.3.1

Resta $20 u$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} - 1 - 20 u = 0$

Paso 3.4.3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.4.3.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 20$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.3.4.1.1

Eleva $- 20$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 3.4.3.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$u = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4.1.3

Suma $400$ y $4$ .

$u = \frac{20 \pm \sqrt{404}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4.1.4

Reescribe $404$ como $2^{2} \cdot 101$ .

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Paso 3.4.3.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $404$ .

$u = \frac{20 \pm \sqrt{4 (101)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 101}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{20 \pm 2 \sqrt{101}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{20 \pm 2 \sqrt{101}}{2}$

Paso 3.4.3.4.3

Simplifica $\frac{20 \pm 2 \sqrt{101}}{2}$ .

$u = 10 \pm \sqrt{101}$

Paso 3.4.3.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = 10 + \sqrt{101}, 10 - \sqrt{101}$

Paso 3.5

Sustituye $10 + \sqrt{101}$ por $u$ en $u = 3^{x}$ .

$10 + \sqrt{101} = 3^{x}$

Paso 3.6

Resuelve $10 + \sqrt{101} = 3^{x}$ .

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Paso 3.6.1

Reescribe la ecuación como $3^{x} = 10 + \sqrt{101}$ .

$3^{x} = 10 + \sqrt{101}$

Paso 3.6.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3^{x}) = \ln (10 + \sqrt{101})$

Paso 3.6.3

Expande $\ln (3^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (3) = \ln (10 + \sqrt{101})$

Paso 3.6.4

Divide cada término en $x \ln (3) = \ln (10 + \sqrt{101})$ por $\ln (3)$ y simplifica.

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Paso 3.6.4.1

Divide cada término en $x \ln (3) = \ln (10 + \sqrt{101})$ por $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (10 + \sqrt{101})}{\ln (3)}$

Paso 3.6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Paso 3.6.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (10 + \sqrt{101})}{\ln (3)}$

Paso 3.6.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (10 + \sqrt{101})}{\ln (3)}$

Paso 3.7

Sustituye $10 - \sqrt{101}$ por $u$ en $u = 3^{x}$ .

$10 - \sqrt{101} = 3^{x}$

Paso 3.8

Resuelve $10 - \sqrt{101} = 3^{x}$ .

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Paso 3.8.1

Reescribe la ecuación como $3^{x} = 10 - \sqrt{101}$ .

$3^{x} = 10 - \sqrt{101}$

Paso 3.8.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3^{x}) = \ln (10 - \sqrt{101})$

Paso 3.8.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (10 - \sqrt{101})$ es indefinida.

Indefinida

Paso 3.8.4

No hay soluciones para $3^{x} = 10 - \sqrt{101}$

No hay solución

Paso 3.9

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \frac{\ln (10 + \sqrt{101})}{\ln (3)}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (10 + \sqrt{101})}{\ln (3)}$

Forma decimal:

$x = 2.72910013 \dots$