Precálculo Ejemplos

$2^{x} + 16 (2^{- x}) = 10$

Paso 1

Reescribe $2^{- x}$ como exponenciación.

$2^{x} + 16 \cdot {(2^{x})}^{- 1} = 10$

Paso 2

Sustituye $u$ por $2^{x}$ .

$u + 16 \cdot u^{- 1} = 10$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 16 \cdot \frac{1}{u} = 10$

Paso 3.2

Combina $16$ y $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{16}{u} = 10$

Paso 4

Resuelve $u$

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Paso 4.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 4.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, u, 1$

Paso 4.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$u$

Paso 4.2

Multiplica cada término en $u + \frac{16}{u} = 10$ por $u$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.2.1

Multiplica cada término en $u + \frac{16}{u} = 10$ por $u$ .

$u \cdot u + \frac{16}{u} u = 10 u$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica $u$ por $u$ .

$u^{2} + \frac{16}{u} u = 10 u$

Paso 4.2.2.1.2

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 4.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$u^{2} + \frac{16}{u} u = 10 u$

Paso 4.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$u^{2} + 16 = 10 u$

Paso 4.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $10 u$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} + 16 - 10 u = 0$

Paso 4.3.2

Factoriza $u^{2} + 16 - 10 u$ con el método AC.

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Paso 4.3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $16$ y cuya suma es $- 10$ .

$- 8, - 2$

Paso 4.3.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 8) (u - 2) = 0$

Paso 4.3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 8 = 0$

$u - 2 = 0$

Paso 4.3.4

Establece $u - 8$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 4.3.4.1

Establece $u - 8$ igual a $0$ .

$u - 8 = 0$

Paso 4.3.4.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 8$

Paso 4.3.5

Establece $u - 2$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 4.3.5.1

Establece $u - 2$ igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

Paso 4.3.5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 2$

Paso 4.3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 8) (u - 2) = 0$ verdadera.

$u = 8, 2$

Paso 5

Sustituye $8$ por $u$ en $u = 2^{x}$ .

$8 = 2^{x}$

Paso 6

Resuelve $8 = 2^{x}$ .

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $2^{x} = 8$ .

$2^{x} = 8$

Paso 6.2

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$2^{x} = 2^{3}$

Paso 6.3

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = 3$

Paso 7

Sustituye $2$ por $u$ en $u = 2^{x}$ .

$2 = 2^{x}$

Paso 8

Resuelve $2 = 2^{x}$ .

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Paso 8.1

Reescribe la ecuación como $2^{x} = 2$ .

$2^{x} = 2$

Paso 8.2

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$2^{x} = 2^{1}$

Paso 8.3

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = 1$

Paso 9

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = 3, 1$