Precálculo Ejemplos

$\tan^{2} (x) - 2 \sec (x) = 2$

Paso 1

Reemplaza $\tan^{2} (x)$ con $\sec^{2} (x) - 1$ según la identidad de $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x) - 1) - 2 \sec (x) = 2$

Paso 2

Reordena el polinomio.

$\sec^{2} (x) - 2 \sec (x) - 1 = 2$

Paso 3

Sustituye $u$ por $\sec (x)$ .

${(u)}^{2} - 2 u - 1 = 2$

Paso 4

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} - 2 u - 1 - 2 = 0$

Paso 5

Resta $2$ de $- 1$ .

$u^{2} - 2 u - 3 = 0$

Paso 6

Factoriza $u^{2} - 2 u - 3$ con el método AC.

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Paso 6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 3) (u + 1) = 0$

Paso 7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

Paso 8

Establece $u - 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 8.1

Establece $u - 3$ igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

Paso 8.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 3$

Paso 9

Establece $u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 9.1

Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Paso 9.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Paso 10

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 3) (u + 1) = 0$ verdadera.

$u = 3, - 1$

Paso 11

Sustituye $\sec (x)$ por $u$ .

$\sec (x) = 3, - 1$

Paso 12

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sec (x) = 3$

$\sec (x) = - 1$

Paso 13

Resuelve $x$ en $\sec (x) = 3$ .

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Paso 13.1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (3)$

Paso 13.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.2.1

Evalúa $arcsec (3)$ .

$x = 1.23095941$

Paso 13.3

La secante es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 1.23095941$

Paso 13.4

Resuelve $x$

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Paso 13.4.1

Elimina los paréntesis.

$x = 2 (3.14159265) - 1.23095941$

Paso 13.4.2

Simplifica $2 (3.14159265) - 1.23095941$ .

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Paso 13.4.2.1

Multiplica $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.23095941$

Paso 13.4.2.2

Resta $1.23095941$ de $6.2831853$ .

$x = 5.05222588$

Paso 13.5

Obtén el período de $\sec (x)$ .

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Paso 13.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 13.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 13.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 13.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 13.6

El período de la función $\sec (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 14

Resuelve $x$ en $\sec (x) = - 1$ .

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Paso 14.1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (- 1)$

Paso 14.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 14.2.1

El valor exacto de $arcsec (- 1)$ es $π$ .

$x = π$

Paso 14.3

La secante es negativa en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - π$

Paso 14.4

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Paso 14.5

Obtén el período de $\sec (x)$ .

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Paso 14.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 14.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 14.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 14.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 14.6

El período de la función $\sec (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 15

Enumera todas las soluciones.

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$