Precálculo Ejemplos

$\sec^{2} (x) - 4 = 0$

Paso 1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$\sec^{2} (x) = 4$

Paso 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{4}$

Paso 3

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sec (x) = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\sec (x) = \pm 2$

Paso 4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sec (x) = 2$

Paso 4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sec (x) = - 2$

Paso 4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sec (x) = 2, - 2$

Paso 5

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sec (x) = 2$

$\sec (x) = - 2$

Paso 6

Resuelve $x$ en $\sec (x) = 2$ .

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Paso 6.1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (2)$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

El valor exacto de $arcsec (2)$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Paso 6.3

La secante es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Paso 6.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 6.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 6.4.2

Combina fracciones.

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Paso 6.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 6.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 6.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Paso 6.4.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Paso 6.5

Obtén el período de $\sec (x)$ .

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Paso 6.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6.6

El período de la función $\sec (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Resuelve $x$ en $\sec (x) = - 2$ .

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Paso 7.1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (- 2)$

Paso 7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.1

El valor exacto de $arcsec (- 2)$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Paso 7.3

La secante es negativa en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Paso 7.4

Simplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Paso 7.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 7.4.2

Combina fracciones.

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Paso 7.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 7.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Paso 7.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Paso 7.4.3.2

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Paso 7.5

Obtén el período de $\sec (x)$ .

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Paso 7.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 7.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 7.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 7.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 7.6

El período de la función $\sec (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

Consolida las soluciones.

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Paso 9.1

Consolida $\frac{π}{3} + 2 π n$ y $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9.2

Consolida $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ y $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$