Precálculo Ejemplos

$3 \cos (x) + 3 = 2 \sin^{2} (x)$

Paso 1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$3 \cos (x) = 2 \sin^{2} (x) - 3$

Paso 2

Eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(3 \cos (x))}^{2} = {(2 \sin^{2} (x) - 3)}^{2}$

Paso 3

Simplifica ${(3 \cos (x))}^{2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla del producto a $3 \cos (x)$ .

$3^{2} \cos^{2} (x) = {(2 \sin^{2} (x) - 3)}^{2}$

Paso 3.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$9 \cos^{2} (x) = {(2 \sin^{2} (x) - 3)}^{2}$

Paso 4

Simplifica ${(2 \sin^{2} (x) - 3)}^{2}$ .

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Paso 4.1

Reescribe ${(2 \sin^{2} (x) - 3)}^{2}$ como $(2 \sin^{2} (x) - 3) (2 \sin^{2} (x) - 3)$ .

$9 \cos^{2} (x) = (2 \sin^{2} (x) - 3) (2 \sin^{2} (x) - 3)$

Paso 4.2

Expande $(2 \sin^{2} (x) - 3) (2 \sin^{2} (x) - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$9 \cos^{2} (x) = 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x) - 3) - 3 (2 \sin^{2} (x) - 3)$

Paso 4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$9 \cos^{2} (x) = 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) \cdot - 3 - 3 (2 \sin^{2} (x) - 3)$

Paso 4.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$9 \cos^{2} (x) = 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) \cdot - 3 - 3 (2 \sin^{2} (x)) - 3 \cdot - 3$

Paso 4.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$9 \cos^{2} (x) = 2 \cdot 2 \sin^{2} (x) \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) \cdot - 3 - 3 (2 \sin^{2} (x)) - 3 \cdot - 3$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $\sin^{2} (x)$ por $\sin^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.1.2.1

Mueve $\sin^{2} (x)$ .

$9 \cos^{2} (x) = 2 \cdot 2 (\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) \cdot - 3 - 3 (2 \sin^{2} (x)) - 3 \cdot - 3$

Paso 4.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 \cos^{2} (x) = 2 \cdot 2 {\sin (x)}^{2 + 2} + 2 \sin^{2} (x) \cdot - 3 - 3 (2 \sin^{2} (x)) - 3 \cdot - 3$

Paso 4.3.1.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$9 \cos^{2} (x) = 2 \cdot 2 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{2} (x) \cdot - 3 - 3 (2 \sin^{2} (x)) - 3 \cdot - 3$

Paso 4.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$9 \cos^{2} (x) = 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{2} (x) \cdot - 3 - 3 (2 \sin^{2} (x)) - 3 \cdot - 3$

Paso 4.3.1.4

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$9 \cos^{2} (x) = 4 \sin^{4} (x) - 6 \sin^{2} (x) - 3 (2 \sin^{2} (x)) - 3 \cdot - 3$

Paso 4.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$9 \cos^{2} (x) = 4 \sin^{4} (x) - 6 \sin^{2} (x) - 6 \sin^{2} (x) - 3 \cdot - 3$

Paso 4.3.1.6

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$9 \cos^{2} (x) = 4 \sin^{4} (x) - 6 \sin^{2} (x) - 6 \sin^{2} (x) + 9$

Paso 4.3.2

Resta $6 \sin^{2} (x)$ de $- 6 \sin^{2} (x)$ .

$9 \cos^{2} (x) = 4 \sin^{4} (x) - 12 \sin^{2} (x) + 9$

Paso 5

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.1

Resta $4 \sin^{4} (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$9 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) = - 12 \sin^{2} (x) + 9$

Paso 5.2

Suma $12 \sin^{2} (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$9 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) + 12 \sin^{2} (x) = 9$

Paso 5.3

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$9 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) + 12 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Paso 6

Simplifica $9 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) + 12 \sin^{2} (x) - 9$ .

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Paso 6.1

Mueve $- 9$ .

$9 \cos^{2} (x) - 9 - 4 \sin^{4} (x) + 12 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 6.2

Reordena $9 \cos^{2} (x)$ y $- 9$ .

$- 9 + 9 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) + 12 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 6.3

Factoriza $- 9$ de $- 9$ .

$- 9 (1) + 9 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) + 12 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 6.4

Factoriza $- 9$ de $9 \cos^{2} (x)$ .

$- 9 (1) - 9 (- \cos^{2} (x)) - 4 \sin^{4} (x) + 12 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 6.5

Factoriza $- 9$ de $- 9 (1) - 9 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 9 (1 - \cos^{2} (x)) - 4 \sin^{4} (x) + 12 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 6.6

Aplica la identidad pitagórica.

$- 9 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) + 12 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 6.7

Suma $- 9 \sin^{2} (x)$ y $12 \sin^{2} (x)$ .

$3 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) = 0$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.1.1

Reescribe $\sin^{4} (x)$ como ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

$3 \sin^{2} (x) - 4 {(\sin^{2} (x))}^{2} = 0$

Paso 7.1.2

Sea $u = \sin^{2} (x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\sin^{2} (x)$ .

$3 u - 4 u^{2} = 0$

Paso 7.1.3

Factoriza $u$ de $3 u - 4 u^{2}$ .

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Paso 7.1.3.1

Factoriza $u$ de $3 u$ .

$u \cdot 3 - 4 u^{2} = 0$

Paso 7.1.3.2

Factoriza $u$ de $- 4 u^{2}$ .

$u \cdot 3 + u (- 4 u) = 0$

Paso 7.1.3.3

Factoriza $u$ de $u \cdot 3 + u (- 4 u)$ .

$u (3 - 4 u) = 0$

Paso 7.1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) (3 - 4 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin^{2} (x) = 0$

$3 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 7.3

Establece $\sin^{2} (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.3.1

Establece $\sin^{2} (x)$ igual a $0$ .

$\sin^{2} (x) = 0$

Paso 7.3.2

Resuelve $\sin^{2} (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 7.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{0}$

Paso 7.3.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 7.3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 7.3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\sin (x) = \pm 0$

Paso 7.3.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$\sin (x) = 0$

Paso 7.3.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 7.3.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 7.3.2.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 7.3.2.6

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 7.3.2.7

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 7.3.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 7.3.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 7.3.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 7.3.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 7.3.2.8

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7.4

Establece $3 - 4 \sin^{2} (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.4.1

Establece $3 - 4 \sin^{2} (x)$ igual a $0$ .

$3 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 7.4.2

Resuelve $3 - 4 \sin^{2} (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 7.4.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 \sin^{2} (x) = - 3$

Paso 7.4.2.2

Divide cada término en $- 4 \sin^{2} (x) = - 3$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 7.4.2.2.1

Divide cada término en $- 4 \sin^{2} (x) = - 3$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Paso 7.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 7.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 \sin^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Paso 7.4.2.2.2.1.2

Divide $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

Paso 7.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.4.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\sin^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Paso 7.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Paso 7.4.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Paso 7.4.2.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Paso 7.4.2.4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.4.2.4.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 7.4.2.4.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 7.4.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.4.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 7.4.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 7.4.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 7.4.2.6

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 7.4.2.7

Resuelve $x$ en $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 7.4.2.7.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 7.4.2.7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.4.2.7.2.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Paso 7.4.2.7.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{3}$

Paso 7.4.2.7.4

Simplifica $π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 7.4.2.7.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 7.4.2.7.4.2

Combina fracciones.

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Paso 7.4.2.7.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 7.4.2.7.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 7.4.2.7.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.2.7.4.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Paso 7.4.2.7.4.3.2

Resta $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Paso 7.4.2.7.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 7.4.2.7.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 7.4.2.7.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 7.4.2.7.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 7.4.2.7.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 7.4.2.7.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7.4.2.8

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 7.4.2.8.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 7.4.2.8.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.4.2.8.2.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ es $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Paso 7.4.2.8.3

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Paso 7.4.2.8.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 7.4.2.8.4.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Paso 7.4.2.8.4.2

El ángulo resultante de $\frac{4 π}{3}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Paso 7.4.2.8.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 7.4.2.8.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 7.4.2.8.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 7.4.2.8.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 7.4.2.8.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 7.4.2.8.6

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 7.4.2.8.6.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{3}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Paso 7.4.2.8.6.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 7.4.2.8.6.3

Combina fracciones.

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Paso 7.4.2.8.6.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 7.4.2.8.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 7.4.2.8.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.2.8.6.4.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Paso 7.4.2.8.6.4.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Paso 7.4.2.8.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{5 π}{3}$

Paso 7.4.2.8.7

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7.4.2.9

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7.4.2.10

Consolida las soluciones.

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Paso 7.4.2.10.1

Consolida $\frac{π}{3} + 2 π n$ y $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7.4.2.10.2

Consolida $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ y $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $\sin^{2} (x) (3 - 4 \sin^{2} (x)) = 0$ verdadera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Consolida las respuestas.

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Paso 8.1

Consolida $2 π n$ y $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8.2

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

Verifica cada una de las soluciones mediante su sustitución en $3 \cos (x) + 3 = 2 \sin^{2} (x)$ y resolución.

$x = \frac{2 π}{3} + \frac{π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$