Precálculo Ejemplos

$2 \sin^{2} (x) - 7 \sin (x) - 4 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Sea $u = \sin (x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\sin (x)$ .

$2 u^{2} - 7 u - 4 = 0$

Paso 1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ y cuya suma es $b = - 7$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $- 7$ de $- 7 u$ .

$2 u^{2} - 7 u - 4 = 0$

Paso 1.2.1.2

Reescribe $- 7$ como $1$ más $- 8$

$2 u^{2} + (1 - 8) u - 4 = 0$

Paso 1.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 u^{2} + 1 u - 8 u - 4 = 0$

Paso 1.2.1.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$2 u^{2} + u - 8 u - 4 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 u^{2} + u) - 8 u - 4 = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (2 u + 1) - 4 (2 u + 1) = 0$

Paso 1.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (u - 4) = 0$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$(2 \sin (x) + 1) (\sin (x) - 4) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) - 4 = 0$

Paso 3

Establece $2 \sin (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $2 \sin (x) + 1$ igual a $0$ .

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $2 \sin (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sin (x) = - 1$

Paso 3.2.2

Divide cada término en $2 \sin (x) = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Divide cada término en $2 \sin (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 3.2.2.2.1.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Paso 3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Paso 3.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Paso 3.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ es $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Paso 3.2.5

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Paso 3.2.6

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 3.2.6.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Paso 3.2.6.2

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Paso 3.2.7

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 3.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.2.8

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 3.2.8.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{6}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Paso 3.2.8.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 3.2.8.3

Combina fracciones.

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Paso 3.2.8.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 3.2.8.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 3.2.8.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.8.4.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Paso 3.2.8.4.2

Resta $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Paso 3.2.8.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

Paso 3.2.9

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Establece $\sin (x) - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $\sin (x) - 4$ igual a $0$ .

$\sin (x) - 4 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $\sin (x) - 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = 4$

Paso 4.2.2

El rango del seno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $4$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 \sin (x) + 1) (\sin (x) - 4) = 0$ verdadera.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$