Precálculo Ejemplos

$2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x + 12) = 1$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x + 12) = 1$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Simplifica $2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x + 12)$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica $2 \log_{4} (x + 4)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) - \log_{4} (x + 12) = 1$

Paso 2.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 12}) = 1$

Paso 3

Reescribe $\log_{4} (\frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 12}) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{1} = \frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 12}$

Paso 4

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

${(x + 4)}^{2} = 4 (x + 12)$

Paso 5

Simplifica $4 (x + 12)$ .

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(x + 4)}^{2} = 4 x + 4 \cdot 12$

Paso 5.2

Multiplica $4$ por $12$ .

${(x + 4)}^{2} = 4 x + 48$

Paso 6

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.1

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

${(x + 4)}^{2} - 4 x = 48$

Paso 6.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1

Reescribe ${(x + 4)}^{2}$ como $(x + 4) (x + 4)$ .

$(x + 4) (x + 4) - 4 x = 48$

Paso 6.2.2

Expande $(x + 4) (x + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x + 4) + 4 (x + 4) - 4 x = 48$

Paso 6.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4) - 4 x = 48$

Paso 6.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4 - 4 x = 48$

Paso 6.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4 - 4 x = 48$

Paso 6.2.3.1.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4 - 4 x = 48$

Paso 6.2.3.1.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$x^{2} + 4 x + 4 x + 16 - 4 x = 48$

Paso 6.2.3.2

Suma $4 x$ y $4 x$ .

$x^{2} + 8 x + 16 - 4 x = 48$

Paso 6.3

Resta $4 x$ de $8 x$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 48$

Paso 7

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.1

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 4 x = 48 - 16$

Paso 7.2

Resta $16$ de $48$ .

$x^{2} + 4 x = 32$

Paso 8

Resta $32$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 4 x - 32 = 0$

Paso 9

Factoriza $x^{2} + 4 x - 32$ con el método AC.

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Paso 9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 32$ y cuya suma es $4$ .

$- 4, 8$

Paso 9.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 4) (x + 8) = 0$

Paso 10

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

Paso 11

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 11.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 12

Establece $x + 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $x + 8$ igual a $0$ .

$x + 8 = 0$

Paso 12.2

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 8$

Paso 13

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 4) (x + 8) = 0$ verdadera.

$x = 4, - 8$

Paso 14

Excluye las soluciones que no hagan que $2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x + 12) = 1$ sea verdadera.

$x = 4$