Precálculo Ejemplos

$3 x^{\frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{1}{4}} - 2 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $x^{\frac{1}{2}}$ como ${(x^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

$3 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} + 5 x^{\frac{1}{4}} - 2 = 0$

Paso 1.2

Sea $u = x^{\frac{1}{4}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{\frac{1}{4}}$ .

$3 u^{2} + 5 u - 2 = 0$

Paso 1.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ y cuya suma es $b = 5$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $5$ de $5 u$ .

$3 u^{2} + 5 (u) - 2 = 0$

Paso 1.3.1.2

Reescribe $5$ como $- 1$ más $6$

$3 u^{2} + (- 1 + 6) u - 2 = 0$

Paso 1.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 u^{2} - 1 u + 6 u - 2 = 0$

Paso 1.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 u^{2} - 1 u) + 6 u - 2 = 0$

Paso 1.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (3 u - 1) + 2 (3 u - 1) = 0$

Paso 1.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 u - 1$ .

$(3 u - 1) (u + 2) = 0$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{4}}$ .

$(3 x^{\frac{1}{4}} - 1) (x^{\frac{1}{4}} + 2) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x^{\frac{1}{4}} - 1 = 0$

$x^{\frac{1}{4}} + 2 = 0$

Paso 3

Establece $3 x^{\frac{1}{4}} - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $3 x^{\frac{1}{4}} - 1$ igual a $0$ .

$3 x^{\frac{1}{4}} - 1 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $3 x^{\frac{1}{4}} - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x^{\frac{1}{4}} = 1$

Paso 3.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $4$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 1^{4}$

Paso 3.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.3.1.1

Simplifica ${(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $3 x^{\frac{1}{4}}$ .

$3^{4} {(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 1^{4}$

Paso 3.2.3.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$81 {(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 1^{4}$

Paso 3.2.3.1.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 3.2.3.1.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81 x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 1^{4}$

Paso 3.2.3.1.1.3.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.3.1.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$81 x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 1^{4}$

Paso 3.2.3.1.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$81 x^{1} = 1^{4}$

Paso 3.2.3.1.1.4

Simplifica.

$81 x = 1^{4}$

Paso 3.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$81 x = 1$

Paso 3.2.4

Divide cada término en $81 x = 1$ por $81$ y simplifica.

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Paso 3.2.4.1

Divide cada término en $81 x = 1$ por $81$ .

$\frac{81 x}{81} = \frac{1}{81}$

Paso 3.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.4.2.1

Cancela el factor común de $81$ .

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Paso 3.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{81 x}{81} = \frac{1}{81}$

Paso 3.2.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{81}$

Paso 4

Establece $x^{\frac{1}{4}} + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x^{\frac{1}{4}} + 2$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{4}} + 2 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x^{\frac{1}{4}} + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{1}{4}} = - 2$

Paso 4.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $4$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 2)}^{4}$

Paso 4.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 2)}^{4}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 2)}^{4}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(- 2)}^{4}$

Paso 4.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = {(- 2)}^{4}$

Paso 4.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$x = 16$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x^{\frac{1}{4}} - 1) (x^{\frac{1}{4}} + 2) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{81}, 16$

Paso 6

Excluye las soluciones que no hagan que $3 x^{\frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{1}{4}} - 2 = 0$ sea verdadera.

$x = \frac{1}{81}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{1}{81}$

Forma decimal:

$x = 0.01234567 \dots$