Precálculo Ejemplos

$2 + 13 \sin (x) = 14 \cos^{2} (x)$

Paso 1

Resta $14 \cos^{2} (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$2 + 13 \sin (x) - 14 \cos^{2} (x) = 0$

Paso 2

Reemplaza $- 14 \cos^{2} (x)$ con $- 14 (1 - \sin^{2} (x))$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 + 13 \sin (x) - 14 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 + 13 \sin (x) - 14 \cdot 1 - 14 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 3.2

Multiplica $- 14$ por $1$ .

$2 + 13 \sin (x) - 14 - 14 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 3.3

Multiplica $- 1$ por $- 14$ .

$2 + 13 \sin (x) - 14 + 14 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 4

Resta $14$ de $2$ .

$13 \sin (x) - 12 + 14 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 5

Reordena el polinomio.

$14 \sin^{2} (x) + 13 \sin (x) - 12 = 0$

Paso 6

Sustituye $u$ por $\sin (x)$ .

$14 {(u)}^{2} + 13 (u) - 12 = 0$

Paso 7

Factoriza por agrupación.

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Paso 7.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 14 \cdot - 12 = - 168$ y cuya suma es $b = 13$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $13$ de $13 u$ .

$14 u^{2} + 13 u - 12 = 0$

Paso 7.1.2

Reescribe $13$ como $- 8$ más $21$

$14 u^{2} + (- 8 + 21) u - 12 = 0$

Paso 7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$14 u^{2} - 8 u + 21 u - 12 = 0$

Paso 7.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$14 u^{2} - 8 u + 21 u - 12 = 0$

Paso 7.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 u (7 u - 4) + 3 (7 u - 4) = 0$

Paso 7.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $7 u - 4$ .

$(7 u - 4) (2 u + 3) = 0$

Paso 8

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$7 u - 4 = 0$

$2 u + 3 = 0$

Paso 9

Establece $7 u - 4$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 9.1

Establece $7 u - 4$ igual a $0$ .

$7 u - 4 = 0$

Paso 9.2

Resuelve $7 u - 4 = 0$ en $u$ .

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Paso 9.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$7 u = 4$

Paso 9.2.2

Divide cada término en $7 u = 4$ por $7$ y simplifica.

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Paso 9.2.2.1

Divide cada término en $7 u = 4$ por $7$ .

$\frac{7 u}{7} = \frac{4}{7}$

Paso 9.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.2.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 9.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 u}{7} = \frac{4}{7}$

Paso 9.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{4}{7}$

Paso 10

Establece $2 u + 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 10.1

Establece $2 u + 3$ igual a $0$ .

$2 u + 3 = 0$

Paso 10.2

Resuelve $2 u + 3 = 0$ en $u$ .

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Paso 10.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 u = - 3$

Paso 10.2.2

Divide cada término en $2 u = - 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 10.2.2.1

Divide cada término en $2 u = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 10.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 10.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 3}{2}$

Paso 10.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{3}{2}$

Paso 11

La solución final comprende todos los valores que hacen $(7 u - 4) (2 u + 3) = 0$ verdadera.

$u = \frac{4}{7}, - \frac{3}{2}$

Paso 12

Sustituye $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = \frac{4}{7}, - \frac{3}{2}$

Paso 13

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = \frac{4}{7}$

$\sin (x) = - \frac{3}{2}$

Paso 14

Resuelve $x$ en $\sin (x) = \frac{4}{7}$ .

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Paso 14.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{4}{7})$

Paso 14.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 14.2.1

Evalúa $\arcsin (\frac{4}{7})$ .

$x = 0.60824557$

Paso 14.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = (3.14159265) - 0.60824557$

Paso 14.4

Resuelve $x$

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Paso 14.4.1

Elimina los paréntesis.

$x = 3.14159265 - 0.60824557$

Paso 14.4.2

Elimina los paréntesis.

$x = (3.14159265) - 0.60824557$

Paso 14.4.3

Resta $0.60824557$ de $3.14159265$ .

$x = 2.53334707$

Paso 14.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 14.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 14.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 14.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 14.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 14.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 0.60824557 + 2 π n, 2.53334707 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 15

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - \frac{3}{2}$ .

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Paso 15.1

El rango del seno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- \frac{3}{2}$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 16

Enumera todas las soluciones.

$x = 0.60824557 + 2 π n, 2.53334707 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$