Precálculo Ejemplos

$e^{x - 1} = {(\frac{1}{e^{2}})}^{x + 5}$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x - 1}) = \ln ({(\frac{1}{e^{2}})}^{x + 5})$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Expande $\ln (e^{x - 1})$ ; para ello, mueve $x - 1$ fuera del logaritmo.

$(x - 1) \ln (e) = \ln ({(\frac{1}{e^{2}})}^{x + 5})$

Paso 2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(x - 1) \cdot 1 = \ln ({(\frac{1}{e^{2}})}^{x + 5})$

Paso 2.3

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$x - 1 = \ln ({(\frac{1}{e^{2}})}^{x + 5})$

Paso 3

Expande el lado derecho.

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Paso 3.1

Expande $\ln ({(\frac{1}{e^{2}})}^{x + 5})$ ; para ello, mueve $x + 5$ fuera del logaritmo.

$x - 1 = (x + 5) \ln (\frac{1}{e^{2}})$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (\frac{1}{e^{2}})$ como $\ln (1) - \ln (e^{2})$ .

$x - 1 = (x + 5) (\ln (1) - \ln (e^{2}))$

Paso 3.3

Expande $\ln (e^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$x - 1 = (x + 5) (\ln (1) - (2 \ln (e)))$

Paso 3.4

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$x - 1 = (x + 5) (0 - (2 \ln (e)))$

Paso 3.5

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x - 1 = (x + 5) (0 - (2 \cdot 1))$

Paso 3.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$x - 1 = (x + 5) (0 - 1 \cdot 2)$

Paso 3.7

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x - 1 = (x + 5) (0 - 2)$

Paso 3.8

Resta $2$ de $0$ .

$x - 1 = (x + 5) \cdot - 2$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

Simplifica $(x + 5) \cdot - 2$ .

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 1 = x \cdot - 2 + 5 \cdot - 2$

Paso 4.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.1

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$x - 1 = - 2 \cdot x + 5 \cdot - 2$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$x - 1 = - 2 x - 10$

Paso 5

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.1

Suma $2 x$ a ambos lados de la ecuación.

$x - 1 + 2 x = - 10$

Paso 5.2

Suma $x$ y $2 x$ .

$3 x - 1 = - 10$

Paso 6

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 10 + 1$

Paso 6.2

Suma $- 10$ y $1$ .

$3 x = - 9$

Paso 7

Divide cada término en $3 x = - 9$ por $3$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $3 x = - 9$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 9}{3}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 9}{3}$

Paso 7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 9}{3}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Divide $- 9$ por $3$ .

$x = - 3$