Precálculo Ejemplos

$\log_{2} (8 x) - \log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (3)$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{8 x}{x^{2} - 1}) = \log_{2} (3)$

Paso 1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{8 x}{x^{2} - 1^{2}}) = \log_{2} (3)$

Paso 1.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\log_{2} (\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)}) = \log_{2} (3)$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$(x + 1) (x - 1), 1$

Paso 3.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$(x + 1) (x - 1)$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$ por $(x + 1) (x - 1)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$ por $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = 3 ((x + 1) (x - 1))$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $(x + 1) (x - 1)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = 3 ((x + 1) (x - 1))$

Paso 3.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$8 x = 3 ((x + 1) (x - 1))$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Expande $(x + 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 x = 3 (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Paso 3.2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$8 x = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Paso 3.2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$8 x = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Paso 3.2.3.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$8 x = 3 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Paso 3.2.3.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$8 x = 3 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Paso 3.2.3.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$8 x = 3 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Paso 3.2.3.2.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$8 x = 3 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Paso 3.2.3.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$8 x = 3 (x^{2} - x + x - 1)$

Paso 3.2.3.2.2

Suma $- x$ y $x$ .

$8 x = 3 (x^{2} + 0 - 1)$

Paso 3.2.3.2.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$8 x = 3 (x^{2} - 1)$

Paso 3.2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$8 x = 3 x^{2} + 3 \cdot - 1$

Paso 3.2.3.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$8 x = 3 x^{2} - 3$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$8 x - 3 x^{2} = - 3$

Paso 3.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$8 x - 3 x^{2} + 3 = 0$

Paso 3.3.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.3.1

Factoriza $- 1$ de $8 x - 3 x^{2} + 3$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Reordena $8 x$ y $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 8 x + 3 = 0$

Paso 3.3.3.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) + 8 x + 3 = 0$

Paso 3.3.3.1.3

Factoriza $- 1$ de $8 x$ .

$- (3 x^{2}) - (- 8 x) + 3 = 0$

Paso 3.3.3.1.4

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$- (3 x^{2}) - (- 8 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Paso 3.3.3.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2}) - (- 8 x)$ .

$- (3 x^{2} - 8 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Paso 3.3.3.1.6

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2} - 8 x) - 1 (- 3)$ .

$- (3 x^{2} - 8 x - 3) = 0$

Paso 3.3.3.2

Factoriza.

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Paso 3.3.3.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.3.3.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ y cuya suma es $b = - 8$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1.1

Factoriza $- 8$ de $- 8 x$ .

$- (3 x^{2} - 8 x - 3) = 0$

Paso 3.3.3.2.1.1.2

Reescribe $- 8$ como $1$ más $- 9$

$- (3 x^{2} + (1 - 9) x - 3) = 0$

Paso 3.3.3.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (3 x^{2} + 1 x - 9 x - 3) = 0$

Paso 3.3.3.2.1.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$- (3 x^{2} + x - 9 x - 3) = 0$

Paso 3.3.3.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.3.3.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- ((3 x^{2} + x) - 9 x - 3) = 0$

Paso 3.3.3.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- (x (3 x + 1) - 3 (3 x + 1)) = 0$

Paso 3.3.3.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 1$ .

$- ((3 x + 1) (x - 3)) = 0$

Paso 3.3.3.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (3 x + 1) (x - 3) = 0$

Paso 3.3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 3.3.5

Establece $3 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.5.1

Establece $3 x + 1$ igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Paso 3.3.5.2

Resuelve $3 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.3.5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 1$

Paso 3.3.5.2.2

Divide cada término en $3 x = - 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.3.5.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 3.3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 3.3.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Paso 3.3.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{3}$

Paso 3.3.6

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.6.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 3.3.6.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 3.3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (3 x + 1) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{3}, 3$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{2} (8 x) - \log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (3)$ sea verdadera.

$x = 3$