Precálculo Ejemplos

$\log_{2} (x - 1) - \log_{2} (x + 3) = \log_{2} (\frac{1}{x})$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x - 1}{x + 3}) = \log_{2} (\frac{1}{x})$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$\frac{x - 1}{x + 3} = \frac{1}{x}$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción. Establece esto igual al producto del denominador de la primera fracción y al numerador de la segunda fracción.

$(x - 1) x = (x + 3) \cdot 1$

Paso 3.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.2.1

Simplifica $(x - 1) x$ .

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Paso 3.2.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (x - 1) x = (x + 3) \cdot 1$

Paso 3.2.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(x - 1) x = (x + 3) \cdot 1$

Paso 3.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x - 1 x = (x + 3) \cdot 1$

Paso 3.2.1.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1.4.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} - 1 x = (x + 3) \cdot 1$

Paso 3.2.1.4.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} - x = (x + 3) \cdot 1$

Paso 3.2.2

Multiplica $x + 3$ por $1$ .

$x^{2} - x = x + 3$

Paso 3.2.3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.3.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - x - x = 3$

Paso 3.2.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$x^{2} - 2 x = 3$

Paso 3.2.4

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Paso 3.2.5

Factoriza $x^{2} - 2 x - 3$ con el método AC.

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Paso 3.2.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 3.2.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 3) (x + 1) = 0$

Paso 3.2.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 3.2.7

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.7.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 3.2.7.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 3.2.8

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.8.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.2.8.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 3.2.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 1$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{2} (x - 1) - \log_{2} (x + 3) = \log_{2} (\frac{1}{x})$ sea verdadera.

$x = 3$