Precálculo Ejemplos

$\log_{4} (x^{2} + 3 x) - \log_{4} (x + 5) = 1$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{x^{2} + 3 x}{x + 5}) = 1$

Paso 1.2

Factoriza $x$ de $x^{2} + 3 x$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\log_{4} (\frac{x \cdot x + 3 x}{x + 5}) = 1$

Paso 1.2.2

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$\log_{4} (\frac{x \cdot x + x \cdot 3}{x + 5}) = 1$

Paso 1.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 3$ .

$\log_{4} (\frac{x (x + 3)}{x + 5}) = 1$

Paso 2

Reescribe $\log_{4} (\frac{x (x + 3)}{x + 5}) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{1} = \frac{x (x + 3)}{x + 5}$

Paso 3

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$x (x + 3) = 4 (x + 5)$

Paso 4

Simplifica $4 (x + 5)$ .

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x + 3) = 4 x + 4 \cdot 5$

Paso 4.2

Multiplica $4$ por $5$ .

$x (x + 3) = 4 x + 20$

Paso 5

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.1

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x (x + 3) - 4 x = 20$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 3 - 4 x = 20$

Paso 5.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 3 - 4 x = 20$

Paso 5.2.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} + 3 x - 4 x = 20$

Paso 5.3

Resta $4 x$ de $3 x$ .

$x^{2} - x = 20$

Paso 6

Factoriza $x$ de $x^{2} - x$ .

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Paso 6.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - x = 20$

Paso 6.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 20$

Paso 6.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$x (x - 1) = 20$

Paso 7

Simplifica $x (x - 1)$ .

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Paso 7.1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 20$

Paso 7.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 = 20$

Paso 7.1.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x = 20$

Paso 7.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} - x = 20$

Paso 8

Resta $20$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - x - 20 = 0$

Paso 9

Factoriza $x^{2} - x - 20$ con el método AC.

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Paso 9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 20$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 5, 4$

Paso 9.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Paso 10

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 11

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 11.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 12

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 12.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 13

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 5) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 5, - 4$