Precálculo Ejemplos

$\log_{5} (4 x + 12) - \log_{5} (x - 13) = 3$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{4 x + 12}{x - 13}) = 3$

Paso 1.2

Factoriza $4$ de $4 x + 12$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\log_{5} (\frac{4 (x) + 12}{x - 13}) = 3$

Paso 1.2.2

Factoriza $4$ de $12$ .

$\log_{5} (\frac{4 x + 4 \cdot 3}{x - 13}) = 3$

Paso 1.2.3

Factoriza $4$ de $4 x + 4 \cdot 3$ .

$\log_{5} (\frac{4 (x + 3)}{x - 13}) = 3$

Paso 2

Reescribe $\log_{5} (\frac{4 (x + 3)}{x - 13}) = 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{3} = \frac{4 (x + 3)}{x - 13}$

Paso 3

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$4 (x + 3) = 5^{3} (x - 13)$

Paso 4

Simplifica $5^{3} (x - 13)$ .

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Paso 4.1

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$4 (x + 3) = 125 (x - 13)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (x + 3) = 125 x + 125 \cdot - 13$

Paso 4.3

Multiplica $125$ por $- 13$ .

$4 (x + 3) = 125 x - 1625$

Paso 5

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.1

Resta $125 x$ de ambos lados de la ecuación.

$4 (x + 3) - 125 x = - 1625$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x + 4 \cdot 3 - 125 x = - 1625$

Paso 5.2.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$4 x + 12 - 125 x = - 1625$

Paso 5.3

Resta $125 x$ de $4 x$ .

$- 121 x + 12 = - 1625$

Paso 6

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$- 121 x = - 1625 - 12$

Paso 6.2

Resta $12$ de $- 1625$ .

$- 121 x = - 1637$

Paso 7

Divide cada término en $- 121 x = - 1637$ por $- 121$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $- 121 x = - 1637$ por $- 121$ .

$\frac{- 121 x}{- 121} = \frac{- 1637}{- 121}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $- 121$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 121 x}{- 121} = \frac{- 1637}{- 121}$

Paso 7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1637}{- 121}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{1637}{121}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{1637}{121}$

Forma decimal:

$x = 13.52892561 \dots$

Forma de número mixto:

$x = 13 \frac{64}{121}$