Precálculo Ejemplos

$\log_{6} (x) + \log_{6} (x - 3) = 2$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{6} (x (x - 3)) = 2$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{6} (x \cdot x + x \cdot - 3) = 2$

Paso 1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{6} (x^{2} + x \cdot - 3) = 2$

Paso 1.3.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$\log_{6} (x^{2} - 3 x) = 2$

Paso 2

Reescribe $\log_{6} (x^{2} - 3 x) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$6^{2} = x^{2} - 3 x$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} - 3 x = 6^{2}$ .

$x^{2} - 3 x = 6^{2}$

Paso 3.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - 3 x = 36$

Paso 3.3

Resta $36$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 3 x - 36 = 0$

Paso 3.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.5

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 3$ y $c = - 36$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 36)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 36$ .

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Paso 3.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 36$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 144}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.3

Suma $9$ y $144$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{153}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.4

Reescribe $153$ como $3^{2} \cdot 17$ .

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Paso 3.6.1.4.1

Factoriza $9$ de $153$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 (17)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{3 \pm 3 \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm 3 \sqrt{17}}{2}$

Paso 3.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{3 + 3 \sqrt{17}}{2}, \frac{3 - 3 \sqrt{17}}{2}$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{6} (x) + \log_{6} (x - 3) = 2$ sea verdadera.

$x = \frac{3 + 3 \sqrt{17}}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{3 + 3 \sqrt{17}}{2}$

Forma decimal:

$x = 7.68465843 \dots$