Precálculo Ejemplos

$\log_{9} (x + 6) + \log_{9} (x + 3) = 2$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{9} ((x + 6) (x + 3)) = 2$

Paso 1.2

Expande $(x + 6) (x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{9} (x (x + 3) + 6 (x + 3)) = 2$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{9} (x \cdot x + x \cdot 3 + 6 (x + 3)) = 2$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{9} (x \cdot x + x \cdot 3 + 6 x + 6 \cdot 3) = 2$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{9} (x^{2} + x \cdot 3 + 6 x + 6 \cdot 3) = 2$

Paso 1.3.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\log_{9} (x^{2} + 3 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 3) = 2$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $6$ por $3$ .

$\log_{9} (x^{2} + 3 x + 6 x + 18) = 2$

Paso 1.3.2

Suma $3 x$ y $6 x$ .

$\log_{9} (x^{2} + 9 x + 18) = 2$

Paso 2

Reescribe $\log_{9} (x^{2} + 9 x + 18) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$9^{2} = x^{2} + 9 x + 18$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} + 9 x + 18 = 9^{2}$ .

$x^{2} + 9 x + 18 = 9^{2}$

Paso 3.2

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} + 9 x + 18 = 81$

Paso 3.3

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 3.3.1

Resta $81$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 9 x + 18 - 81 = 0$

Paso 3.3.2

Resta $81$ de $18$ .

$x^{2} + 9 x - 63 = 0$

Paso 3.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.5

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 9$ y $c = - 63$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 63)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 63$ .

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Paso 3.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 63$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 252}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.3

Suma $81$ y $252$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{333}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.4

Reescribe $333$ como $3^{2} \cdot 37$ .

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Paso 3.6.1.4.1

Factoriza $9$ de $333$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{9 (37)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 9 \pm 3 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm 3 \sqrt{37}}{2}$

Paso 3.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{9 - 3 \sqrt{37}}{2}, - \frac{9 + 3 \sqrt{37}}{2}$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{9} (x + 6) + \log_{9} (x + 3) = 2$ sea verdadera.

$x = - \frac{9 - 3 \sqrt{37}}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{9 - 3 \sqrt{37}}{2}$

Forma decimal:

$x = 4.62414379 \dots$