Precálculo Ejemplos

$\log_{x} (729) = 3$

Paso 1

Reescribe $\log_{x} (729) = 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$x^{3} = 729$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Resta $729$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} - 729 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Reescribe $729$ como $9^{3}$ .

$x^{3} - 9^{3} = 0$

Paso 2.2.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 9$ .

$(x - 9) (x^{2} + x \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Mueve $9$ a la izquierda de $x$ .

$(x - 9) (x^{2} + 9 x + 9^{2}) = 0$

Paso 2.2.3.2

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$(x - 9) (x^{2} + 9 x + 81) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

$x^{2} + 9 x + 81 = 0$

Paso 2.4

Establece $x - 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 9$ igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 9$

Paso 2.5

Establece $x^{2} + 9 x + 81$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x^{2} + 9 x + 81$ igual a $0$ .

$x^{2} + 9 x + 81 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $x^{2} + 9 x + 81 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.5.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 9$ y $c = 81$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 81)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica.

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Paso 2.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.3.1.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 81$ .

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Paso 2.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $81$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 324}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.3

Resta $324$ de $81$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 243}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.4

Reescribe $- 243$ como $- 1 (243)$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 243}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (243)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{243}$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{243}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot \sqrt{243}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.7

Reescribe $243$ como $9^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.5.2.3.1.7.1

Factoriza $81$ de $243$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot \sqrt{81 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.7.2

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot \sqrt{9^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot (9 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.9

Mueve $9$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 9 \pm 9 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm 9 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{9 - 9 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{9 + 9 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 9) (x^{2} + 9 x + 81) = 0$ verdadera.

$x = 9, - \frac{9 - 9 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{9 + 9 i \sqrt{3}}{2}$