Precálculo Ejemplos

$\sqrt{2} \cos (2 x) + 1 = 0$

Paso 1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{2} \cos (2 x) = - 1$

Paso 2

Divide cada término en $\sqrt{2} \cos (2 x) = - 1$ por $\sqrt{2}$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $\sqrt{2} \cos (2 x) = - 1$ por $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (2 x)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $\sqrt{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2} \cos (2 x)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Paso 2.2.1.2

Divide $\cos (2 x)$ por $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (2 x) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (2 x) = - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 2.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 2.3.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 2.3.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 2.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 2.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 2.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 2.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$2 x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ es $\frac{3 π}{4}$ .

$2 x = \frac{3 π}{4}$

Paso 5

Divide cada término en $2 x = \frac{3 π}{4}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $2 x = \frac{3 π}{4}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Paso 5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 5.3.2

Multiplica $\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 5.3.2.1

Multiplica $\frac{3 π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4 \cdot 2}$

Paso 5.3.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Paso 6

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$2 x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Paso 7.1.2

Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Paso 7.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Paso 7.1.4

Multiplica $4$ por $2$ .

$2 x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Paso 7.1.5

Resta $3 π$ de $8 π$ .

$2 x = \frac{5 π}{4}$

Paso 7.2

Divide cada término en $2 x = \frac{5 π}{4}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.2.1

Divide cada término en $2 x = \frac{5 π}{4}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 7.2.3.2.1

Multiplica $\frac{5 π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

Paso 7.2.3.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$x = \frac{5 π}{8}$

Paso 8

Obtén el período de $\cos (2 x)$ .

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Paso 8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 8.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Paso 8.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 8.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 8.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 9

El período de la función $\cos (2 x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{8} + π n, \frac{5 π}{8} + π n$ , para cualquier número entero $n$