Precálculo Ejemplos

$\sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Sea $u = \sin (x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\sin (x)$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Paso 1.2

Factoriza $u^{2} - u - 2$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 2, 1$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$(\sin (x) - 2) (\sin (x) + 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (x) - 2 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Paso 3

Establece $\sin (x) - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $\sin (x) - 2$ igual a $0$ .

$\sin (x) - 2 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $\sin (x) - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = 2$

Paso 3.2.2

El rango del seno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $2$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 4

Establece $\sin (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $\sin (x) + 1$ igual a $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $\sin (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = - 1$

Paso 4.2.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Paso 4.2.4

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 4.2.5

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 4.2.5.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 4.2.5.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 4.2.6

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 4.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 4.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 4.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 4.2.7

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 4.2.7.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Paso 4.2.7.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 4.2.7.3

Combina fracciones.

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Paso 4.2.7.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 4.2.7.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 4.2.7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.7.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Paso 4.2.7.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 4.2.7.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 4.2.8

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\sin (x) - 2) (\sin (x) + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$