Precálculo Ejemplos

$e^{2 x} - 4 e^{x} = 5$

Paso 1

Reescribe $e^{2 x}$ como exponenciación.

${(e^{x})}^{2} - 4 e^{x} = 5$

Paso 2

Sustituye $u$ por $e^{x}$ .

$u^{2} - 4 u = 5$

Paso 3

Resuelve $u$

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Paso 3.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} - 4 u - 5 = 0$

Paso 3.2

Factoriza $u^{2} - 4 u - 5$ con el método AC.

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Paso 3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 5$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 5, 1$

Paso 3.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 5) (u + 1) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 5 = 0$

$u + 1 = 0$

Paso 3.4

Establece $u - 5$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 3.4.1

Establece $u - 5$ igual a $0$ .

$u - 5 = 0$

Paso 3.4.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 5$

Paso 3.5

Establece $u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 3.5.1

Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Paso 3.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 5) (u + 1) = 0$ verdadera.

$u = 5, - 1$

Paso 4

Sustituye $5$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$5 = e^{x}$

Paso 5

Resuelve $5 = e^{x}$ .

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = 5$ .

$e^{x} = 5$

Paso 5.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (5)$

Paso 5.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (5)$

Paso 5.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (5)$

Paso 5.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (5)$

Paso 6

Sustituye $- 1$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$- 1 = e^{x}$

Paso 7

Resuelve $- 1 = e^{x}$ .

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = - 1$ .

$e^{x} = - 1$

Paso 7.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

Paso 7.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- 1)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 7.4

No hay soluciones para $e^{x} = - 1$

No hay solución

Paso 8

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \ln (5)$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \ln (5)$

Forma decimal:

$x = 1.60943791 \dots$