Precálculo Ejemplos

$5^{- \frac{x}{100}} = 2$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (5^{- \frac{x}{100}}) = \ln (2)$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Expande $\ln (5^{- \frac{x}{100}})$ ; para ello, mueve $- \frac{x}{100}$ fuera del logaritmo.

$- \frac{x}{100} \ln (5) = \ln (2)$

Paso 2.2

Combina $\ln (5)$ y $\frac{x}{100}$ .

$- \frac{\ln (5) x}{100} = \ln (2)$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Reordena los factores en $- \frac{\ln (5) x}{100}$ .

$- \frac{x \ln (5)}{100} = \ln (2)$

Paso 4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- \frac{100}{\ln (5)}$ .

$- \frac{100}{\ln (5)} (- \frac{x \ln (5)}{100}) = - \frac{100}{\ln (5)} \ln (2)$

Paso 5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Simplifica $- \frac{100}{\ln (5)} (- \frac{x \ln (5)}{100})$ .

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Paso 5.1.1.1

Cancela el factor común de $100$ .

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Paso 5.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{100}{\ln (5)}$ al numerador.

$\frac{- 100}{\ln (5)} (- \frac{x \ln (5)}{100}) = - \frac{100}{\ln (5)} \ln (2)$

Paso 5.1.1.1.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x \ln (5)}{100}$ al numerador.

$\frac{- 100}{\ln (5)} \cdot \frac{- x \ln (5)}{100} = - \frac{100}{\ln (5)} \ln (2)$

Paso 5.1.1.1.3

Factoriza $100$ de $- 100$ .

$\frac{100 (- 1)}{\ln (5)} \cdot \frac{- x \ln (5)}{100} = - \frac{100}{\ln (5)} \ln (2)$

Paso 5.1.1.1.4

Cancela el factor común.

$\frac{100 \cdot - 1}{\ln (5)} \cdot \frac{- x \ln (5)}{100} = - \frac{100}{\ln (5)} \ln (2)$

Paso 5.1.1.1.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{\ln (5)} (- x \ln (5)) = - \frac{100}{\ln (5)} \ln (2)$

Paso 5.1.1.2

Cancela el factor común de $\ln (5)$ .

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Paso 5.1.1.2.1

Factoriza $\ln (5)$ de $- x \ln (5)$ .

$\frac{- 1}{\ln (5)} (\ln (5) (- x)) = - \frac{100}{\ln (5)} \ln (2)$

Paso 5.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{\ln (5)} (\ln (5) (- x)) = - \frac{100}{\ln (5)} \ln (2)$

Paso 5.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- - x = - \frac{100}{\ln (5)} \ln (2)$

Paso 5.1.1.3

Multiplica.

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Paso 5.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 x = - \frac{100}{\ln (5)} \ln (2)$

Paso 5.1.1.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = - \frac{100}{\ln (5)} \ln (2)$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $- \frac{100}{\ln (5)} \ln (2)$ .

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Paso 5.2.1.1

Combina $\ln (2)$ y $\frac{100}{\ln (5)}$ .

$x = - \frac{\ln (2) \cdot 100}{\ln (5)}$

Paso 5.2.1.2

Mueve $100$ a la izquierda de $\ln (2)$ .

$x = - \frac{100 \ln (2)}{\ln (5)}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{100 \ln (2)}{\ln (5)}$

Forma decimal:

$x = - 43.06765580 \dots$