Precálculo Ejemplos

$5^{x} + 125 (5^{- x}) = 30$

Paso 1

Reescribe $5^{- x}$ como exponenciación.

$5^{x} + 125 \cdot {(5^{x})}^{- 1} = 30$

Paso 2

Sustituye $u$ por $5^{x}$ .

$u + 125 \cdot u^{- 1} = 30$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 125 \cdot \frac{1}{u} = 30$

Paso 3.2

Combina $125$ y $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{125}{u} = 30$

Paso 4

Resuelve $u$

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Paso 4.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 4.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, u, 1$

Paso 4.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$u$

Paso 4.2

Multiplica cada término en $u + \frac{125}{u} = 30$ por $u$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.2.1

Multiplica cada término en $u + \frac{125}{u} = 30$ por $u$ .

$u \cdot u + \frac{125}{u} u = 30 u$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica $u$ por $u$ .

$u^{2} + \frac{125}{u} u = 30 u$

Paso 4.2.2.1.2

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 4.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$u^{2} + \frac{125}{u} u = 30 u$

Paso 4.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$u^{2} + 125 = 30 u$

Paso 4.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $30 u$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} + 125 - 30 u = 0$

Paso 4.3.2

Factoriza $u^{2} + 125 - 30 u$ con el método AC.

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Paso 4.3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $125$ y cuya suma es $- 30$ .

$- 25, - 5$

Paso 4.3.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 25) (u - 5) = 0$

Paso 4.3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 25 = 0$

$u - 5 = 0$

Paso 4.3.4

Establece $u - 25$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 4.3.4.1

Establece $u - 25$ igual a $0$ .

$u - 25 = 0$

Paso 4.3.4.2

Suma $25$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 25$

Paso 4.3.5

Establece $u - 5$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 4.3.5.1

Establece $u - 5$ igual a $0$ .

$u - 5 = 0$

Paso 4.3.5.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 5$

Paso 4.3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 25) (u - 5) = 0$ verdadera.

$u = 25, 5$

Paso 5

Sustituye $25$ por $u$ en $u = 5^{x}$ .

$25 = 5^{x}$

Paso 6

Resuelve $25 = 5^{x}$ .

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $5^{x} = 25$ .

$5^{x} = 25$

Paso 6.2

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$5^{x} = 5^{2}$

Paso 6.3

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = 2$

Paso 7

Sustituye $5$ por $u$ en $u = 5^{x}$ .

$5 = 5^{x}$

Paso 8

Resuelve $5 = 5^{x}$ .

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Paso 8.1

Reescribe la ecuación como $5^{x} = 5$ .

$5^{x} = 5$

Paso 8.2

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$5^{x} = 5^{1}$

Paso 8.3

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = 1$

Paso 9

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = 2, 1$