Precálculo Ejemplos

$\frac{500}{100 - e^{\frac{x}{2}}} = 20$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $100 - e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{500}{100 - e^{\frac{x}{2}}} (100 - e^{\frac{x}{2}}) = 20 (100 - e^{\frac{x}{2}})$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $100 - e^{\frac{x}{2}}$ .

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Paso 2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{500}{100 - e^{\frac{x}{2}}} (100 - e^{\frac{x}{2}}) = 20 (100 - e^{\frac{x}{2}})$

Paso 2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$500 = 20 (100 - e^{\frac{x}{2}})$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Simplifica $20 (100 - e^{\frac{x}{2}})$ .

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Paso 2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$500 = 20 \cdot 100 + 20 (- e^{\frac{x}{2}})$

Paso 2.2.1.2

Multiplica.

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica $20$ por $100$ .

$500 = 2000 + 20 (- e^{\frac{x}{2}})$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $20$ .

$500 = 2000 - 20 e^{\frac{x}{2}}$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $2000 - 20 e^{\frac{x}{2}} = 500$ .

$2000 - 20 e^{\frac{x}{2}} = 500$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $2000$ de ambos lados de la ecuación.

$- 20 e^{\frac{x}{2}} = 500 - 2000$

Paso 3.2.2

Resta $2000$ de $500$ .

$- 20 e^{\frac{x}{2}} = - 1500$

Paso 3.3

Divide cada término en $- 20 e^{\frac{x}{2}} = - 1500$ por $- 20$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $- 20 e^{\frac{x}{2}} = - 1500$ por $- 20$ .

$\frac{- 20 e^{\frac{x}{2}}}{- 20} = \frac{- 1500}{- 20}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 20$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 20 e^{\frac{x}{2}}}{- 20} = \frac{- 1500}{- 20}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $e^{\frac{x}{2}}$ por $1$ .

$e^{\frac{x}{2}} = \frac{- 1500}{- 20}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Divide $- 1500$ por $- 20$ .

$e^{\frac{x}{2}} = 75$

Paso 3.4

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{\frac{x}{2}}) = \ln (75)$

Paso 3.5

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.5.1

Expande $\ln (e^{\frac{x}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{x}{2}$ fuera del logaritmo.

$\frac{x}{2} \ln (e) = \ln (75)$

Paso 3.5.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\frac{x}{2} \cdot 1 = \ln (75)$

Paso 3.5.3

Multiplica $\frac{x}{2}$ por $1$ .

$\frac{x}{2} = \ln (75)$

Paso 3.6

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \ln (75)$

Paso 3.7

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.7.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.7.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 \ln (75)$

Paso 3.7.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 \ln (75)$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 2 \ln (75)$

Forma decimal:

$x = 8.63497622 \dots$