Precálculo Ejemplos

$\frac{1 + \cos (u)}{\sin (u)} + \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Paso 1

Para escribir $\frac{1 + \cos (u)}{\sin (u)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + \cos (u)}{1 + \cos (u)}$ .

$\frac{1 + \cos (u)}{\sin (u)} \cdot \frac{1 + \cos (u)}{1 + \cos (u)} + \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin (u)}{\sin (u)}$ .

$\frac{1 + \cos (u)}{\sin (u)} \cdot \frac{1 + \cos (u)}{1 + \cos (u)} + \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\sin (u)}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $\sin (u) (1 + \cos (u))$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1 + \cos (u)}{\sin (u)}$ por $\frac{1 + \cos (u)}{1 + \cos (u)}$ .

$\frac{(1 + \cos (u)) (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))} + \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\sin (u)}$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$ por $\frac{\sin (u)}{\sin (u)}$ .

$\frac{(1 + \cos (u)) (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))} + \frac{\sin (u) \sin (u)}{(1 + \cos (u)) \sin (u)}$

Paso 3.3

Reordena los factores de $(1 + \cos (u)) \sin (u)$ .

$\frac{(1 + \cos (u)) (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))} + \frac{\sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(1 + \cos (u)) (1 + \cos (u)) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Expande $(1 + \cos (u)) (1 + \cos (u))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (1 + \cos (u)) + \cos (u) (1 + \cos (u)) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Paso 5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (u) + \cos (u) (1 + \cos (u)) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (u) + \cos (u) \cdot 1 + \cos (u) \cos (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Paso 5.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1 + 1 \cos (u) + \cos (u) \cdot 1 + \cos (u) \cos (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $\cos (u)$ por $1$ .

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) \cdot 1 + \cos (u) \cos (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $\cos (u)$ por $1$ .

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) + \cos (u) \cos (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $\cos (u) \cos (u)$ .

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Paso 5.2.1.4.1

Eleva $\cos (u)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) + \cos^{1} (u) \cos (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Paso 5.2.1.4.2

Eleva $\cos (u)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) + \cos^{1} (u) \cos^{1} (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Paso 5.2.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) + {\cos (u)}^{1 + 1} + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Paso 5.2.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Paso 5.2.2

Suma $\cos (u)$ y $\cos (u)$ .

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Paso 5.3

Multiplica $\sin (u) \sin (u)$ .

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Paso 5.3.1

Eleva $\sin (u)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin^{1} (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Paso 5.3.2

Eleva $\sin (u)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin^{1} (u) \sin^{1} (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Paso 5.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + {\sin (u)}^{1 + 1}}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Paso 5.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin^{2} (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Paso 5.4

Reescribe $1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin^{2} (u)$ en forma factorizada.

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Paso 5.4.1

Reorganiza los términos.

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \sin^{2} (u) + \cos^{2} (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Paso 5.4.2

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{1 + 2 \cos (u) + 1}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Paso 5.4.3

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 + 2 \cos (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Paso 5.4.4

Factoriza $2$ de $2 + 2 \cos (u)$ .

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Paso 5.4.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Paso 5.4.4.2

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1 + 2 \cos (u)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Paso 6

Cancela el factor común de $1 + \cos (u)$ .

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Paso 6.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Paso 6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{\sin (u)}$

Paso 7

Separa las fracciones.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (u)}$

Paso 8

Convierte de $\frac{1}{\sin (u)}$ a $\csc (u)$ .

$\frac{2}{1} \csc (u)$

Paso 9

Divide $2$ por $1$ .

$2 \csc (u)$