Precálculo Ejemplos

$\frac{4}{2 - 3 i} + \frac{2}{1 + i}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{4}{2 - 3 i}$ por el conjugado de $2 - 3 i$ para hacer real el denominador.

$\frac{4}{2 - 3 i} \cdot \frac{2 + 3 i}{2 + 3 i} + \frac{2}{1 + i}$

Paso 1.2

Multiplica.

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Paso 1.2.1

Combinar.

$\frac{4 (2 + 3 i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Paso 1.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (3 i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 + 4 (3 i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{8 + 12 i}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Paso 1.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.3.1

Expande $(2 - 3 i) (2 + 3 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 + 12 i}{2 (2 + 3 i) - 3 i (2 + 3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Paso 1.2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 + 12 i}{2 \cdot 2 + 2 (3 i) - 3 i (2 + 3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Paso 1.2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 + 12 i}{2 \cdot 2 + 2 (3 i) - 3 i \cdot 2 - 3 i (3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica.

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Paso 1.2.3.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 2 (3 i) - 3 i \cdot 2 - 3 i (3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Paso 1.2.3.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 6 i - 3 i \cdot 2 - 3 i (3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 6 i - 6 i - 3 i (3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Paso 1.2.3.2.4

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 i i} + \frac{2}{1 + i}$

Paso 1.2.3.2.5

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 (i^{1} i)} + \frac{2}{1 + i}$

Paso 1.2.3.2.6

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 (i^{1} i^{1})} + \frac{2}{1 + i}$

Paso 1.2.3.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{8 + 12 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 i^{1 + 1}} + \frac{2}{1 + i}$

Paso 1.2.3.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 i^{2}} + \frac{2}{1 + i}$

Paso 1.2.3.2.9

Resta $6 i$ de $6 i$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 0 - 9 i^{2}} + \frac{2}{1 + i}$

Paso 1.2.3.2.10

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 - 9 i^{2}} + \frac{2}{1 + i}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.3.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 - 9 \cdot - 1} + \frac{2}{1 + i}$

Paso 1.2.3.3.2

Multiplica $- 9$ por $- 1$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 9} + \frac{2}{1 + i}$

Paso 1.2.3.4

Suma $4$ y $9$ .

$\frac{8 + 12 i}{13} + \frac{2}{1 + i}$

Paso 1.3

Divide la fracción $\frac{8 + 12 i}{13}$ en dos fracciones.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2}{1 + i}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{2}{1 + 1 i}$ por el conjugado de $1 + 1 i$ para hacer real el denominador.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i}$

Paso 1.5

Multiplica.

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Paso 1.5.1

Combinar.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 1.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 \cdot 1 + 2 (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 1.5.2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 + 2 (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 1.5.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 1.5.3

Simplifica el denominador.

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Paso 1.5.3.1

Expande $(1 + 1 i) (1 - i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.5.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)}$

Paso 1.5.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)}$

Paso 1.5.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica.

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Paso 1.5.3.2.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Paso 1.5.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Paso 1.5.3.2.3

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)}$

Paso 1.5.3.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - i i}$

Paso 1.5.3.2.5

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)}$

Paso 1.5.3.2.6

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})}$

Paso 1.5.3.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}}$

Paso 1.5.3.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}}$

Paso 1.5.3.2.9

Suma $- 1 i$ y $1 i$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 + 0 - i^{2}}$

Paso 1.5.3.2.10

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - i^{2}}$

Paso 1.5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.3.3.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - - 1}$

Paso 1.5.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 + 1}$

Paso 1.5.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{2}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $2 - 2 i$ y $2$ .

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Paso 1.6.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 \cdot 1 - 2 i}{2}$

Paso 1.6.2

Factoriza $2$ de $- 2 i$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 \cdot 1 + 2 (- i)}{2}$

Paso 1.6.3

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (- i)$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 (1 - i)}{2}$

Paso 1.6.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.6.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 (1 - i)}{2 (1)}$

Paso 1.6.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 (1 - i)}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{1 - i}{1}$

Paso 1.6.4.4

Divide $1 - i$ por $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + 1 - i$

Paso 2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{8}{13} + \frac{13}{13} + \frac{12 i}{13} - i$

Paso 2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 + 13}{13} + \frac{12 i}{13} - i$

Paso 2.3

Suma $8$ y $13$ .

$\frac{21}{13} + \frac{12 i}{13} - i$

Paso 3

Para escribir $- i$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{13}{13}$ .

$\frac{21}{13} + \frac{12 i}{13} - i \cdot \frac{13}{13}$

Paso 4

Combina $- i$ y $\frac{13}{13}$ .

$\frac{21}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{- i \cdot 13}{13}$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{21}{13} + \frac{- i}{13}$

Paso 5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{21}{13} - \frac{i}{13}$