Precálculo Ejemplos

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} - \tan (x)$

Paso 1

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(1 - \sin (x)) \cos (x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)} - \frac{\sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(1 - \sin (x)) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} - \frac{\sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\cos (x) \cos (x) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Paso 6.1.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Paso 6.1.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Paso 6.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Paso 6.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Paso 6.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Paso 6.4

Multiplica $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Paso 6.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Paso 6.4.2

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Paso 6.4.3

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Paso 6.4.4

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Paso 6.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Paso 6.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Paso 6.5

Reescribe $\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)$ en forma factorizada.

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Paso 6.5.1

Reorganiza los términos.

$\frac{- \sin (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Paso 6.5.2

Reorganiza los términos.

$\frac{- \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Paso 6.5.3

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{- \sin (x) + 1}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Paso 7

Cancela el factor común de $- \sin (x) + 1$ y $1 - \sin (x)$ .

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Paso 7.1

Reordena los términos.

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Paso 7.2

Cancela el factor común.

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Paso 7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\cos (x)}$

Paso 8

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\sec (x)$