Precálculo Ejemplos

$\sin (arcsec (\frac{4}{x}))$

Paso 1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, \sqrt{{(\frac{4}{x})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $arcsec (\frac{4}{x})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, \sqrt{{(\frac{4}{x})}^{2} - 1^{2}})$ . Por lo tanto, $\sin (arcsec (\frac{4}{x}))$ es $\frac{\sqrt{{(\frac{4}{x})}^{2} - 1}}{\frac{4}{x}}$ .

$\frac{\sqrt{{(\frac{4}{x})}^{2} - 1}}{\frac{4}{x}}$

Paso 2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sqrt{{(\frac{4}{x})}^{2} - 1} \frac{x}{4}$

Paso 3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{4}{x})}^{2} - 1^{2}} \frac{x}{4}$

Paso 4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{4}{x}$ y $b = 1$ .

$\sqrt{(\frac{4}{x} + 1) (\frac{4}{x} - 1)} \frac{x}{4}$

Paso 5

Combina en una fracción.

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Paso 5.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{(\frac{4}{x} + \frac{x}{x}) (\frac{4}{x} - 1)} \frac{x}{4}$

Paso 5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{4 + x}{x} (\frac{4}{x} - 1)} \frac{x}{4}$

Paso 6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\sqrt{\frac{4 + x}{x} (\frac{4}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x})} \frac{x}{4}$

Paso 7

Combina $- 1$ y $\frac{x}{x}$ .

$\sqrt{\frac{4 + x}{x} (\frac{4}{x} + \frac{- x}{x})} \frac{x}{4}$

Paso 8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{4 + x}{x} \cdot \frac{4 - x}{x}} \frac{x}{4}$

Paso 9

Multiplica $\frac{4 + x}{x}$ por $\frac{4 - x}{x}$ .

$\sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{x \cdot x}} \frac{x}{4}$

Paso 10

Multiplica $x$ por $x$ .

$\sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{x^{2}}} \frac{x}{4}$

Paso 11

Reescribe $\frac{(4 + x) (4 - x)}{x^{2}}$ como ${(\frac{1}{x})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ .

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Paso 11.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(4 + x) (4 - x)$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{x^{2}}} \frac{x}{4}$

Paso 11.2

Factoriza la potencia perfecta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{x^{2} \cdot 1}} \frac{x}{4}$

Paso 11.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{x^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((4 + x) (4 - x))} \frac{x}{4}$

Paso 12

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{1}{x} \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \frac{x}{4}$

Paso 13

Combina $\frac{1}{x}$ y $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{x} \cdot \frac{x}{4}$

Paso 14

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 14.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{x} \cdot \frac{x}{4}$

Paso 14.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{(4 + x) (4 - x)} \frac{1}{4}$

Paso 15

Combina $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}$