Precálculo Ejemplos

$\cos (\arcsin (\frac{1}{9} x))$

Paso 1

Escribe la expresión usando exponentes.

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Paso 1.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{9} x)}^{2}}, \frac{1}{9} x)$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{9} x)}^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces $\arcsin (\frac{1}{9} x)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{9} x)}^{2}}, \frac{1}{9} x)$ . Por lo tanto, $\cos (\arcsin (\frac{1}{9} x))$ es $\sqrt{1 - {(\frac{1}{9} x)}^{2}}$ .

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{9} x)}^{2}}$

Paso 1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{9} x)}^{2}}$

Paso 2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \frac{1}{9} x$ .

$\sqrt{(1 + \frac{1}{9} x) (1 - (\frac{1}{9} x))}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{9}$ y $x$ .

$\sqrt{(1 + \frac{x}{9}) (1 - (\frac{1}{9} x))}$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{9}$ y $x$ .

$\sqrt{(1 + \frac{x}{9}) (1 - \frac{x}{9})}$

Paso 4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{(\frac{9}{9} + \frac{x}{9}) (1 - \frac{x}{9})}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{9 + x}{9} (1 - \frac{x}{9})}$

Paso 6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{9 + x}{9} (\frac{9}{9} - \frac{x}{9})}$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{9 + x}{9} \cdot \frac{9 - x}{9}}$

Paso 8

Multiplica $\frac{9 + x}{9}$ por $\frac{9 - x}{9}$ .

$\sqrt{\frac{(9 + x) (9 - x)}{9 \cdot 9}}$

Paso 9

Multiplica $9$ por $9$ .

$\sqrt{\frac{(9 + x) (9 - x)}{81}}$

Paso 10

Reescribe $\frac{(9 + x) (9 - x)}{81}$ como ${(\frac{1}{9})}^{2} ((9 + x) (9 - x))$ .

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Paso 10.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(9 + x) (9 - x)$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((9 + x) (9 - x))}{81}}$

Paso 10.2

Factoriza la potencia perfecta $9^{2}$ de $81$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((9 + x) (9 - x))}{9^{2} \cdot 1}}$

Paso 10.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((9 + x) (9 - x))}{9^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{9})}^{2} ((9 + x) (9 - x))}$

Paso 11

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{1}{9} \sqrt{(9 + x) (9 - x)}$

Paso 12

Combina $\frac{1}{9}$ y $\sqrt{(9 + x) (9 - x)}$ .

$\frac{\sqrt{(9 + x) (9 - x)}}{9}$