Precálculo Ejemplos

$6 x - 5 < \frac{6}{x}$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $x$ .

$(6 x - 5) x = \frac{6}{x} x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Simplifica $(6 x - 5) x$ .

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Paso 2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x \cdot x - 5 x = \frac{6}{x} x$

Paso 2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.1.2.1

Mueve $x$ .

$6 (x \cdot x) - 5 x = \frac{6}{x} x$

Paso 2.1.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$6 x^{2} - 5 x = \frac{6}{x} x$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$6 x^{2} - 5 x = \frac{6}{x} x$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$6 x^{2} - 5 x = 6$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x^{2} - 5 x - 6 = 0$

Paso 3.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 6 \cdot - 6 = - 36$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 x$ .

$6 x^{2} - 5 x - 6 = 0$

Paso 3.2.1.2

Reescribe $- 5$ como $4$ más $- 9$

$6 x^{2} + (4 - 9) x - 6 = 0$

Paso 3.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{2} + 4 x - 9 x - 6 = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(6 x^{2} + 4 x) - 9 x - 6 = 0$

Paso 3.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 x (3 x + 2) - 3 (3 x + 2) = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 2$ .

$(3 x + 2) (2 x - 3) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Paso 3.4

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $3 x + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 2$

Paso 3.4.2.2

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 3.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 3.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Paso 3.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 3.5

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $2 x - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.5.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 3$

Paso 3.5.2.2

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 3.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x + 2) (2 x - 3) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{2}{3}, \frac{3}{2}$

Paso 4

Obtén el dominio de $6 x - 5 - \frac{6}{x}$ .

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{6}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 4.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{2}{3}$

$- \frac{2}{3} < x < 0$

$0 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Paso 6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{2}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{2}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

$6 (- 3) - 5 < \frac{6}{- 3}$

Paso 6.1.3

$- 23$ del lado izquierdo es menor que $- 2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 6.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{2}{3} < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{2}{3} < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 0.33$

Paso 6.2.2

Reemplaza $x$ con $- 0.33$ en la desigualdad original.

$6 (- 0.33) - 5 < \frac{6}{- 0.33}$

Paso 6.2.3

$- 6.98$ del lado izquierdo no es menor que $- 18.\overline{18}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \frac{3}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < \frac{3}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Paso 6.3.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$6 (1) - 5 < \frac{6}{1}$

Paso 6.3.3

$1$ del lado izquierdo es menor que $6$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 6.4

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{3}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{3}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 6.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$6 (4) - 5 < \frac{6}{4}$

Paso 6.4.3

$19$ del lado izquierdo no es menor que $1.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{2}{3}$ Verdadero

$- \frac{2}{3} < x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{3}{2}$ Verdadero

$x > \frac{3}{2}$ Falso

$x < - \frac{2}{3}$ Verdadero

$- \frac{2}{3} < x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{3}{2}$ Verdadero

$x > \frac{3}{2}$ Falso

Paso 7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - \frac{2}{3}$ o $0 < x < \frac{3}{2}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - \frac{2}{3} or 0 < x < \frac{3}{2}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (0, \frac{3}{2})$

Paso 9