Precálculo Ejemplos

$\sqrt{3 x^{2} - 5 x + 2}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{3 x^{2} - 5 x + 2}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$3 x^{2} - 5 x + 2 \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$3 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Paso 2.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 x$ .

$3 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Paso 2.2.1.2

Reescribe $- 5$ como $- 2$ más $- 3$

$3 x^{2} + (- 2 - 3) x + 2 = 0$

Paso 2.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 2 x - 3 x + 2 = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 x^{2} - 2 x) - 3 x + 2 = 0$

Paso 2.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (3 x - 2) - (3 x - 2) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 2$ .

$(3 x - 2) (x - 1) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 2.4

Establece $3 x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $3 x - 2$ igual a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $3 x - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 2$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Paso 2.5

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x - 2) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{2}{3}, 1$

Paso 2.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < \frac{2}{3}$

$\frac{2}{3} < x < 1$

$x > 1$

Paso 2.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < \frac{2}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < \frac{2}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 2.8.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$3 {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 2 \geq 0$

Paso 2.8.1.3

$2$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.8.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{2}{3} < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{2}{3} < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.83$

Paso 2.8.2.2

Reemplaza $x$ con $0.83$ en la desigualdad original.

$3 {(0.83)}^{2} - 5 \cdot 0.83 + 2 \geq 0$

Paso 2.8.2.3

$- 0.0833$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 2.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 2.8.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$3 {(4)}^{2} - 5 \cdot 4 + 2 \geq 0$

Paso 2.8.3.3

$30$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < \frac{2}{3}$ Verdadero

$\frac{2}{3} < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

$x < \frac{2}{3}$ Verdadero

$\frac{2}{3} < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

Paso 2.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq \frac{2}{3}$ o $x \geq 1$

Paso 3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \frac{2}{3}] \cup [1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \leq \frac{2}{3}, x \geq 1}$

Paso 4