Precálculo Ejemplos

$\frac{3}{x^{2} - 3 x}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza $x$ de $x^{2} - 3 x$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{3}{x \cdot x - 3 x}$

Paso 1.1.2

Factoriza $x$ de $- 3 x$ .

$\frac{3}{x \cdot x + x \cdot - 3}$

Paso 1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$\frac{3}{x (x - 3)}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3}$

Paso 1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (x - 3)$ .

$\frac{3 (x (x - 3))}{x (x - 3)} = \frac{A (x (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3))}{x - 3}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (x (x - 3))}{x (x - 3)} = \frac{A (x (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3))}{x - 3}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (x - 3)}{x - 3} = \frac{A (x (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3))}{x - 3}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (x - 3)}{x - 3} = \frac{A (x (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3))}{x - 3}$

Paso 1.5.2

Divide $3$ por $1$ .

$3 = \frac{A (x (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3))}{x - 3}$

Paso 1.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.6.1.1

Cancela el factor común.

$3 = \frac{A (x (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3))}{x - 3}$

Paso 1.6.1.2

Divide $A (x - 3)$ por $1$ .

$3 = A (x - 3) + \frac{(B) (x (x - 3))}{x - 3}$

Paso 1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 = A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) (x (x - 3))}{x - 3}$

Paso 1.6.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $A$ .

$3 = A x - 3 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 3))}{x - 3}$

Paso 1.6.4

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 1.6.4.1

Cancela el factor común.

$3 = A x - 3 A + \frac{B (x (x - 3))}{x - 3}$

Paso 1.6.4.2

Divide $(B) (x)$ por $1$ .

$3 = A x - 3 A + (B) (x)$

$3 = A x - 3 A + B x$

Paso 1.7

Mueve $- 3 A$ .

$3 = A x + B x - 3 A$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$3 = - 3 A$

Paso 2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$3 = - 3 A$

$0 = A + B$

$3 = - 3 A$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $3 = - 3 A$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $- 3 A = 3$ .

$- 3 A = 3$

$0 = A + B$

Paso 3.1.2

Divide cada término en $- 3 A = 3$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Divide cada término en $- 3 A = 3$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B$

Paso 3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B$

$A = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B$

$A = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B$

Paso 3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.2.3.1

Divide $3$ por $- 3$ .

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- 1$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A + B$ por $- 1$ .

$0 = (- 1) + B$

$A = - 1$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

Paso 3.3

Resuelve $B$ en $0 = - 1 + B$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 1 + B = 0$ .

$- 1 + B = 0$

$A = - 1$

Paso 3.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

Paso 3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = 1 A = - 1$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = 1, A = - 1$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 3}$