Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{2} - 11 x - 18}{x (x^{2} + 3 x + 3)}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3 x + 3}$

Paso 1.2

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (x^{2} + 3 x + 3)$ .

$\frac{(x^{2} - 11 x - 18) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x (x^{2} + 3 x + 3)} = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} - 11 x - 18) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x (x^{2} + 3 x + 3)} = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{2} - 11 x - 18) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3} = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x^{2} + 3 x + 3$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} - 11 x - 18) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3} = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Paso 1.4.2

Divide $x^{2} - 11 x - 18$ por $1$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Paso 1.5

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.5.1.1

Cancela el factor común.

$x^{2} - 11 x - 18 = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Paso 1.5.1.2

Divide $A (x^{2} + 3 x + 3)$ por $1$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A (x^{2} + 3 x + 3) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Paso 1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + A (3 x) + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Paso 1.5.3

Simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Paso 1.5.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $A$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Paso 1.5.4

Cancela el factor común de $x^{2} + 3 x + 3$ .

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Paso 1.5.4.1

Cancela el factor común.

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Paso 1.5.4.2

Divide $(B x + C) (x)$ por $1$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + (B x + C) (x)$

Paso 1.5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x \cdot x + C x$

Paso 1.5.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.6.1

Mueve $x$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B (x \cdot x) + C x$

Paso 1.5.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x^{2} + C x$

Paso 1.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.6.1

Mueve $A$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 x A + 3 A + B x^{2} + C x$

Paso 1.6.2

Reordena $B$ y $x^{2}$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 x A + 3 A + B x^{2} + C x$

Paso 1.6.3

Mueve $3 A$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 x A + B x^{2} + C x + 3 A$

Paso 1.6.4

Mueve $3 x A$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + B x^{2} + 3 x A + C x + 3 A$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 11 = 3 A + C$

Paso 2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 18 = 3 A$

Paso 2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$- 18 = 3 A$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$- 18 = 3 A$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $- 18 = 3 A$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $3 A = - 18$ .

$3 A = - 18$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

Paso 3.1.2

Divide cada término en $3 A = - 18$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Divide cada término en $3 A = - 18$ por $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

Paso 3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

Paso 3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.2.3.1

Divide $- 18$ por $3$ .

$A = - 6$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = - 6$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = - 6$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = - 6$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- 6$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $1 = A + B$ por $- 6$ .

$1 = (- 6) + B$

$A = - 6$

$- 11 = 3 A + C$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$- 11 = 3 A + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$- 11 = 3 A + C$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $A$ en $- 11 = 3 A + C$ por $- 6$ .

$- 11 = 3 (- 6) + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

Paso 3.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $3$ por $- 6$ .

$- 11 = - 18 + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$- 11 = - 18 + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$- 11 = - 18 + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

Paso 3.3

Resuelve $C$ en $- 11 = - 18 + C$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 18 + C = - 11$ .

$- 18 + C = - 11$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $18$ a ambos lados de la ecuación.

$C = - 11 + 18$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 11$ y $18$ .

$C = 7$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$C = 7$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$C = 7$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $C$ por $7$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $- 6 + B = 1$ .

$- 6 + B = 1$

$C = 7$

$A = - 6$

Paso 3.4.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.4.2.1

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$B = 1 + 6$

$C = 7$

$A = - 6$

Paso 3.4.2.2

Suma $1$ y $6$ .

$B = 7$

$C = 7$

$A = - 6$

$B = 7$

$C = 7$

$A = - 6$

$B = 7$

$C = 7$

$A = - 6$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = 7, C = 7, A = - 6$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3 x + 3}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$- \frac{6}{x} + \frac{7 x + 7}{x^{2} + 3 x + 3}$

Paso 5

Multiplica $7$ por $x$ .

$\frac{- 6}{x} + \frac{7 x + 7}{x^{2} + 3 x + 3}$