Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x^{3} - 4 x}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 4 x$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x \cdot x^{2} - 4 x}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $x$ de $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 4}$

Paso 1.1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ .

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x (x^{2} - 4)}$

Paso 1.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x (x^{2} - 2^{2})}$

Paso 1.1.3

Factoriza.

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Paso 1.1.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x ((x + 2) (x - 2))}$

Paso 1.1.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x (x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2}$

Paso 1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x - 2}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) (x (x + 2) (x - 2))}{x (x + 2) (x - 2)} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) (x (x + 2) (x - 2))}{x (x + 2) (x - 2)} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Paso 1.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) (x - 2)}{x - 2} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Paso 1.7

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 1.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) (x - 2)}{x - 2} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Paso 1.7.2

Divide $x^{2} + 12 x + 12$ por $1$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Paso 1.8

Simplifica cada término.

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Paso 1.8.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.8.1.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + 12 x + 12 = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Paso 1.8.1.2

Divide $A ((x + 2) (x - 2))$ por $1$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A ((x + 2) (x - 2)) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Paso 1.8.2

Expande $(x + 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.8.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x (x - 2) + 2 (x - 2)) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Paso 1.8.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Paso 1.8.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Paso 1.8.3

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Paso 1.8.3.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 2$ y $2 x$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Paso 1.8.3.2

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Paso 1.8.3.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x \cdot x + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Paso 1.8.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.8.4.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x^{2} + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Paso 1.8.4.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x^{2} - 4) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Paso 1.8.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} + A \cdot - 4 + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Paso 1.8.6

Mueve $- 4$ a la izquierda de $A$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Paso 1.8.7

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 1.8.7.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + \frac{B (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Paso 1.8.7.2

Divide $(B) (x (x - 2))$ por $1$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + (B) (x (x - 2)) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Paso 1.8.8

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B (x \cdot x + x \cdot - 2) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Paso 1.8.9

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B (x^{2} + x \cdot - 2) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Paso 1.8.10

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B (x^{2} - 2 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Paso 1.8.11

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} + B (- 2 x) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Paso 1.8.12

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Paso 1.8.13

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 1.8.13.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + \frac{C (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Paso 1.8.13.2

Divide $(C) (x (x + 2))$ por $1$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + (C) (x (x + 2))$

Paso 1.8.14

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C (x \cdot x + x \cdot 2)$

Paso 1.8.15

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C (x^{2} + x \cdot 2)$

Paso 1.8.16

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C (x^{2} + 2 \cdot x)$

Paso 1.8.17

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C x^{2} + C (2 x)$

Paso 1.8.18

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C x^{2} + 2 C x$

Paso 1.9

Simplifica la expresión.

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Paso 1.9.1

Mueve $B$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 x B + C x^{2} + 2 C x$

Paso 1.9.2

Mueve $- 4 A$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} + B x^{2} - 2 x B + C x^{2} + 2 C x - 4 A$

Paso 1.9.3

Mueve $- 2 x B$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - 2 x B + 2 C x - 4 A$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + B + C$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$12 = - 2 B + 2 C$

Paso 2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$12 = - 4 A$

Paso 2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$12 = - 4 A$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$12 = - 4 A$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $12 = - 4 A$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $- 4 A = 12$ .

$- 4 A = 12$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

Paso 3.1.2

Divide cada término en $- 4 A = 12$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Divide cada término en $- 4 A = 12$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{12}{- 4}$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{12}{- 4}$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

Paso 3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{12}{- 4}$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$A = \frac{12}{- 4}$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$A = \frac{12}{- 4}$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

Paso 3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.2.3.1

Divide $12$ por $- 4$ .

$A = - 3$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- 3$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $1 = A + B + C$ por $- 3$ .

$1 = (- 3) + B + C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$1 = - 3 + B + C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

$1 = - 3 + B + C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

$1 = - 3 + B + C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

Paso 3.3

Resuelve $B$ en $1 = - 3 + B + C$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 3 + B + C = 1$ .

$- 3 + B + C = 1$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$B + C = 1 + 3$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

Paso 3.3.2.2

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 1 + 3 - C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

Paso 3.3.2.3

Suma $1$ y $3$ .

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $4 - C$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $12 = - 2 B + 2 C$ por $4 - C$ .

$12 = - 2 (4 - C) + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $- 2 (4 - C) + 2 C$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$12 = - 2 \cdot 4 - 2 (- C) + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Paso 3.4.2.1.1.2

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$12 = - 8 - 2 (- C) + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Paso 3.4.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$12 = - 8 + 2 C + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 8 + 2 C + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Paso 3.4.2.1.2

Suma $2 C$ y $2 C$ .

$12 = - 8 + 4 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 8 + 4 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 8 + 4 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 8 + 4 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Paso 3.5

Resuelve $C$ en $12 = - 8 + 4 C$ .

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $- 8 + 4 C = 12$ .

$- 8 + 4 C = 12$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Paso 3.5.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.5.2.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$4 C = 12 + 8$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Paso 3.5.2.2

Suma $12$ y $8$ .

$4 C = 20$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$4 C = 20$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Paso 3.5.3

Divide cada término en $4 C = 20$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.5.3.1

Divide cada término en $4 C = 20$ por $4$ .

$\frac{4 C}{4} = \frac{20}{4}$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Paso 3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 C}{4} = \frac{20}{4}$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Paso 3.5.3.2.1.2

Divide $C$ por $1$ .

$C = \frac{20}{4}$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$C = \frac{20}{4}$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$C = \frac{20}{4}$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Paso 3.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.3.1

Divide $20$ por $4$ .

$C = 5$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$C = 5$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$C = 5$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$C = 5$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Paso 3.6

Reemplaza todos los casos de $C$ por $5$ en cada ecuación.

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Paso 3.6.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $B = 4 - C$ por $5$ .

$B = 4 - (5)$

$C = 5$

$A = - 3$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.2.1

Simplifica $4 - (5)$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$B = 4 - 5$

$C = 5$

$A = - 3$

Paso 3.6.2.1.2

Resta $5$ de $4$ .

$B = - 1$

$C = 5$

$A = - 3$

$B = - 1$

$C = 5$

$A = - 3$

$B = - 1$

$C = 5$

$A = - 3$

$B = - 1$

$C = 5$

$A = - 3$

Paso 3.7

Enumera todas las soluciones.

$B = - 1, C = 5, A = - 3$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x - 2}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$- \frac{3}{x} + \frac{- 1}{x + 2} + \frac{5}{x - 2}$