Precálculo Ejemplos

$\frac{1}{4 x^{2} - 9}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x)}^{2} - 9}$

Paso 1.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x)}^{2} - 3^{2}}$

Paso 1.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 x$ y $b = 3$ .

$\frac{1}{(2 x + 3) (2 x - 3)}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{2 x + 3}$

Paso 1.3

$\frac{A}{2 x + 3} + \frac{B}{2 x - 3}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(2 x + 3) (2 x - 3)$ .

$\frac{1 (2 x + 3) (2 x - 3)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} = \frac{(A) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x + 3} + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $2 x + 3$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (2 x + 3) (2 x - 3)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} = \frac{(A) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x + 3} + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (2 x - 3)}{2 x - 3} = \frac{(A) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x + 3} + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $2 x - 3$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (2 x - 3)}{2 x - 3} = \frac{(A) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x + 3} + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

Paso 1.6.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{(A) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x + 3} + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

Paso 1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1

Cancela el factor común de $2 x + 3$ .

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Paso 1.7.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x + 3} + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

Paso 1.7.1.2

Divide $(A) (2 x - 3)$ por $1$ .

$1 = (A) (2 x - 3) + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

Paso 1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A (2 x) + A \cdot - 3 + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

Paso 1.7.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = 2 A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

Paso 1.7.4

Mueve $- 3$ a la izquierda de $A$ .

$1 = 2 A x - 3 \cdot A + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

Paso 1.7.5

Cancela el factor común de $2 x - 3$ .

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Paso 1.7.5.1

Cancela el factor común.

$1 = 2 A x - 3 A + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

Paso 1.7.5.2

Divide $(B) (2 x + 3)$ por $1$ .

$1 = 2 A x - 3 A + (B) (2 x + 3)$

Paso 1.7.6

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = 2 A x - 3 A + B (2 x) + B \cdot 3$

Paso 1.7.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = 2 A x - 3 A + 2 B x + B \cdot 3$

Paso 1.7.8

Mueve $3$ a la izquierda de $B$ .

$1 = 2 A x - 3 A + 2 B x + 3 B$

Paso 1.8

Reordena.

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Paso 1.8.1

Mueve $A$ .

$1 = 2 x A - 3 A + 2 B x + 3 B$

Paso 1.8.2

Mueve $B$ .

$1 = 2 x A - 3 A + 2 x B + 3 B$

Paso 1.8.3

Mueve $- 3 A$ .

$1 = 2 x A + 2 x B - 3 A + 3 B$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = 2 A + 2 B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = - 3 A + 3 B$

Paso 2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = 2 A + 2 B$

$1 = - 3 A + 3 B$

$0 = 2 A + 2 B$

$1 = - 3 A + 3 B$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $0 = 2 A + 2 B$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $2 A + 2 B = 0$ .

$2 A + 2 B = 0$

$1 = - 3 A + 3 B$

Paso 3.1.2

Resta $2 B$ de ambos lados de la ecuación.

$2 A = - 2 B$

$1 = - 3 A + 3 B$

Paso 3.1.3

Divide cada término en $2 A = - 2 B$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.1.3.1

Divide cada término en $2 A = - 2 B$ por $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{- 2 B}{2}$

$1 = - 3 A + 3 B$

Paso 3.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 A}{2} = \frac{- 2 B}{2}$

$1 = - 3 A + 3 B$

Paso 3.1.3.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 2 B}{2}$

$1 = - 3 A + 3 B$

$A = \frac{- 2 B}{2}$

$1 = - 3 A + 3 B$

$A = \frac{- 2 B}{2}$

$1 = - 3 A + 3 B$

Paso 3.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.3.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 3.1.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 B$ .

$A = \frac{2 (- B)}{2}$

$1 = - 3 A + 3 B$

Paso 3.1.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$A = \frac{2 (- B)}{2 (1)}$

$1 = - 3 A + 3 B$

Paso 3.1.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$A = \frac{2 (- B)}{2 \cdot 1}$

$1 = - 3 A + 3 B$

Paso 3.1.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$A = \frac{- B}{1}$

$1 = - 3 A + 3 B$

Paso 3.1.3.3.1.2.4

Divide $- B$ por $1$ .

$A = - B$

$1 = - 3 A + 3 B$

$A = - B$

$1 = - 3 A + 3 B$

$A = - B$

$1 = - 3 A + 3 B$

$A = - B$

$1 = - 3 A + 3 B$

$A = - B$

$1 = - 3 A + 3 B$

$A = - B$

$1 = - 3 A + 3 B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- B$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $1 = - 3 A + 3 B$ por $- B$ .

$1 = - 3 (- B) + 3 B$

$A = - B$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $- 3 (- B) + 3 B$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$1 = 3 B + 3 B$

$A = - B$

Paso 3.2.2.1.2

Suma $3 B$ y $3 B$ .

$1 = 6 B$

$A = - B$

$1 = 6 B$

$A = - B$

$1 = 6 B$

$A = - B$

$1 = 6 B$

$A = - B$

Paso 3.3

Resuelve $B$ en $1 = 6 B$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $6 B = 1$ .

$6 B = 1$

$A = - B$

Paso 3.3.2

Divide cada término en $6 B = 1$ por $6$ y simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Divide cada término en $6 B = 1$ por $6$ .

$\frac{6 B}{6} = \frac{1}{6}$

$A = - B$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 B}{6} = \frac{1}{6}$

$A = - B$

Paso 3.3.2.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{1}{6}$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = - B$ por $\frac{1}{6}$ .

$A = - (\frac{1}{6})$

$B = \frac{1}{6}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $\frac{1}{6}$ .

$A = - \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{6}$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = - \frac{1}{6}, B = \frac{1}{6}$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{2 x + 3} + \frac{B}{2 x - 3}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{2 x + 3} + \frac{\frac{1}{6}}{2 x - 3}$